高中奥数 2021-09-30

2021-09-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P054 习题10）

两个大圆圆、圆相等且相交,两个小圆圆、圆不等亦相交,且交点为、.若圆、圆既同时与圆内切,又同时与圆外切.求证:直线平分线段.

证明

令的中点为,记圆与圆内切于,与圆外切于,设圆与圆的半径为,圆的半径为,则,.

图1

从而,关于的幂(中线长公式)为与无关的定值.

同理关于的幂.

所以在与的根轴,即直线上.

即过中点.

2021-09-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P054 习题11）

在平面上有三个两两外离的圆、、,对于这三个圆外的任意一点,将六个点、、、、、定义如下:对于,、是圆上相异的两点,使得直线、均与圆相切.若、、三线共点,则称此时的点为“独特的”.求证:若平面上存在独特的点,则所有这样的点落在同一个圆上.

证明

记圆的圆心、半径分别为、.

设为一个独特的点,且与其相应的三条直线、、交于点.

以线段为直径作圆并记为圆,其圆心、半径分别为、.

接下来证明:所有独特的点都在圆上.

图2

如图,记交于点.

由知,点在圆上.

由与圆相切及射影定理知.

另一方面,也是点对圆的幂,则.

因此,是点对圆的幂.

同理,也是点对圆、的幂.

综上,是所给定的三个圆、、的根心.

因为点对这三个圆的幂的平方根与点的选取无关,所以,所有独特的点都在圆上.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P054 习题12）

等腰,,在边的延长线上,和分别是直线和上的点.,,是外接圆上弧的中点证明:.

证明

如图,设和分别是在和上的正交投影,可以得到,.

图3

所以,.

同理可得.

由于,所以,.

因为和分别在以和为直径的圆上,故点在分别以和为直径的两圆的根轴上.

设是分别以和为直径的两圆的另外一个交点,于是,、和三点共线.

又,所以,.

这样就证明了结论.