高中奥数 2021-12-30

2021-12-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 第二数学归纳法 P009 例3）

设是一个次实系数多项式,是一个不小于3的实数.证明:下面的个数中至少有一个数不小于1.

证明

对的次数进行归纳.

当时,是常数多项式,设,此时,由,可知|,即命题对成立.

假设命题对所有次数小于的多项式都成立,考虑次数为的多项式.

令,则的次数.

由归纳假设知,存在,使得,即.故

从而,即存在,使得,命题对成立.

综上可知,对任意次数为的多项式,命题都成立.

说明在对多项式的次数用数学归纳法时,常采用第二数学归纳法的形式,因为首项系数相同的两个次多项式之差的次数不一定是次,但一定是一个次数小于的多项式.运用第二数学归纳法处理时就避开了讨论.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 第二数学归纳法 P009 例4）

证明:任意一个凸边形都可以被它的三条边张成的三角形或它的四条边张成的平行四边形所覆盖.

证明

对归纳当时,结论是显然的;

当时,如果该四边形是平行四边形则已完成,如果它不是平行四边形,则有组对边不平行,将它们延长相交后,总可以用另两条边中的一条合成一个三角形,它覆盖这个四边形(如图所示).

图1

现假设对任一凸边形结论成立,这里.取凸边形的任意一条边,除去及与相邻的边外,还有至少条边.这两条边中必有一条与不平行(因为至多只能有一条与平行),设为.延长和(不妨设为如图所示的图形),设它们相交于点.现在用折线代替被覆盖的折线及边和,便得到一个边数少于并将覆盖的凸多边形,对用归纳假设,可知命题对成立.

图2

综上可知,命题成立.

说明数学归纳法在平面几何中也有广泛的应用.此题的结论可进一步加强为:若凸边形不是平行四边形,则它可被由其三条边张成的三角形所覆盖.