线性方程组与矩阵的对应关系说明:上述的有序数表完全确定了原线性方程组,对它的研究可以判断方程组的解的情况.
2.1 矩阵定义
矩阵相等
同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等:设矩阵A与B是同型矩阵，A=(a[i][j]), B=(b[i][j])若a[i][j]=b[i][j],(i,j=1,2,…,n)则称矩阵A与B相等，记作A=B。
几种特殊类型矩阵
1、行矩阵（Row Matrix）:只有一行的矩阵。（或称行向量）
2、列矩阵（Column Matrix）:只有一列的矩阵。（列向量）
3、零矩阵（Zero Matrix）:元素全为零的矩阵称为零矩阵。
4、方阵（Square Matrix）:行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵。
5、单位矩阵（ldentity Matrix）:主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。
6、数量矩阵（Scalar Matrix）:主对角元素全为非零常数k,其余元素全为零的方阵。
7、对角阵（Diagonal Matrix）:主对角线以外的元素都为零的方阵。
8、对称矩阵 （Symmetric Matrix）:主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。
9、反对称矩阵（Skew-symmetric Matrix）:主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号的矩阵。
2.2 矩阵的加减法
性质（设A,B,C都是同型矩阵）
(1）交换律A+B=B+A
(2）结合律(A+B)+C=A+(B+C)
数乘矩阵
1.定义:数γ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为:
注:λA=0⇒λ=0或A=O
2.性质
设A,B为m×n矩阵，λ,μ为数
(1)(λμ)A=λ(μA);
(2)(λ+μ)A= A=λA+ λ=μA;
(3)λ(A+ B)=λA+λB.
【注意】一般AB≠BA;AB=0，不可推出A=0或B=0。
定义:如果AB=BA，就称4,B可交换。(此时A,B必为同阶方阵)
单位阵满足 Em*Am×n=A，Am×nEn=Am×n；单位阵和任何一个矩阵只要能乘，则等于那个矩阵本身。
2.性质:
| (1)结合律: | (AB)C=A(BC); | |
|---|---|---|
| (2)左右分配律: | ||
| A(B+C)=AB+AC, | 左乘 | 左提 |
| (B+C)A=BA+CA , | 右乘 | 右提 |
(3)λ(AB)=(λA)B=A(λB)=(AB)λ
(4)AE=EA=A
好求的方幂的矩阵
（1）一行×一列
（2）严格上的上三角阵
（3）对角阵
4、矩阵的转置
注意：若A为方阵，AT=A，则称A为对称矩阵。
A^T =-A，称A为反对称矩阵。
A=½(A+AT)+ ½(A-AT)
5、方阵的行列式
1、定义
由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记号| A |或det A 。
2、性质
设A,B为n阶方阵,则有①|AT|=| A |;②| λA |=λn| A |③| AB |=| A || B |=| B | | A |=| BA |
注1:注意|λA|≠| λ || A |，| λA |≠λ|A|
注2:如果A,B不是方阵,则l|AB|≠|A||B|;
注3:|A+B|≠|A|+|B|
注意：An Bn=0≠>An＝0或Bn＝0；
6、方阵的伴随矩阵
1、定义A=(aij)n,Aij为A中a..的代数余子式,将第i行放到第i列，第i列放到第i行，所组成的矩阵叫做伴随矩阵。
二阶矩阵求伴随矩阵口诀：对主调，副变号。
二阶矩阵(A*)*=A
伴随矩阵性质：AA*=A*A=|A|E
7、逆矩阵
一、定义:设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使 AB=BA=E，
则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。记A的逆矩阵为 A-1。
性质：若方阵A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
证明：设B,C都是A的逆矩阵，则有AC=CA=E，BA=AB=E，故B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
二、可逆的充要条件
定理：n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时，A-1= A*。
二阶方阵的逆矩阵，行列式的倒数 乘上 主对角线对调，副对角线负号。
设A是n阶方阵，当|A|≠0时，称A为非奇异的(或非退化的),（可逆）
当|A|=0时，称A为奇异矩阵(或退化的)（不可逆）
推论:设A、B为同阶方阵，若AB=E,则A和B都可逆，且A-1 =B，B-1 =A.
证明：若AB=E → |AB|=|A||B|=1 →|A|≠0 → A-1存在，同理 B-1 存在，由AB=E，→A-1(AB)=A-1E → B=A-1 → BA=E。
方阵A的逆矩阵的求法：
1、利用公式A-1= A*，(适用于二阶、三阶矩阵求逆)
2、寻找方阵B,使得AB=E.(适用于抽象矩求逆)
3、利用矩阵的初等变换求逆矩阵(后面讲)
【例】设方阵A满足方程A-A-2E=0,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证：（1）由A²-A-2E=0，得A(A-E)=2E →A()=E,所以A可逆，且A-1=(A-E)。
(2)由A2-A-2E=0可得(A+2E)(A-3E)+4E=0，(A＋2E)[-(A-3E)]=E ，所以A+2E可逆，(A+2E)-1=-(A-3E)。
【练习】设A为n阶矩阵,且满足A+3A-2E=0.求:
(1)A-1; (2) (A-E)-1；
方法
【注】若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE，若有
则知矩阵 aA+bE 可逆，且
性质:设A,B为n阶可逆矩阵
(1)若A可逆，则A1也可逆，且(A-1)-1 = A.
(2)若A可逆,数λ≠0,则λA也可逆，且(λA)-1= A-1 .
(3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
(4)若A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.
(5)若A可逆，则|A-1|=|A|-1
设4,B为n阶可逆矩阵, A+B=AB，证明:(A-E)1=B-E，且A,B可交换。
证明:A+B=AB =>AB -A-B=0
=>A(B -E)-(B-E)=E
=>(A- E)(B-E)=E
=>(A-E)-1=B-E;
=>(B -E)(A-E)=E =>BA -A-B=0
A +B=BA =>AB = BA =>A,B可交换。
2.4 克莱姆法则
注意
(1）如果线性方程组系数行列式D=0，则有解，且解唯一;若系数行列式为零,则解不唯一或无解。
(2)Cramer 法则仅用于未知数个数与方程个数相同的情况。
(3)若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，而常数项为0，则方程组只有零解。
注意：齐次方程组一定有解，若齐次线性方程组有非零解，则D=0。
2.5 分块矩阵
一、分块矩阵定义
定义:将矩阵A用若干条纵线和若干条横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
二、分块矩阵的运算
后面再补充。