9.6 重复测量方差分析
所谓重复测量方差分析，即受试者被测量不止一次。本节重点关注含一个组内和一个组间因子的重复测量方差分析（这是一个常见的设计）。
以下为R语言实战示例。基础安装包中的CO2数据集包含了北方和南方牧草类植物Echinochloa crus-galli（Potvin，Lechowicz，Tardif，1990）的寒冷容忍度研究结果，在某浓度二氧化碳的环境中，对寒带植物与非寒带植物的光合作用率进行了比较。研究所用植物一半来自于加拿大的魁北克省，另一半来自美国的密西西比州。因变量是二氧化碳吸收量（uptake），单位为ml/L，自变量是植物类型Type（魁北克VS密西西比州）和七种水平（95~1000 umol/m^2 sec）的二氧化碳浓度（conc）。另外，Type是组间因子，conc是组内因子。
CO2
## Plant Type Treatment conc uptake
## 1 Qn1 Quebec nonchilled 95 16.0
## 2 Qn1 Quebec nonchilled 175 30.4
## 3 Qn1 Quebec nonchilled 250 34.8
## 4 Qn1 Quebec nonchilled 350 37.2
## 5 Qn1 Quebec nonchilled 500 35.3
## 6 Qn1 Quebec nonchilled 675 39.2
## 7 Qn1 Quebec nonchilled 1000 39.7
## 8 Qn2 Quebec nonchilled 95 13.6
## 9 Qn2 Quebec nonchilled 175 27.3
## 10 Qn2 Quebec nonchilled 250 37.1
## 11 Qn2 Quebec nonchilled 350 41.8
## 12 Qn2 Quebec nonchilled 500 40.6
## 13 Qn2 Quebec nonchilled 675 41.4
## 14 Qn2 Quebec nonchilled 1000 44.3
## 15 Qn3 Quebec nonchilled 95 16.2
## 16 Qn3 Quebec nonchilled 175 32.4
## 17 Qn3 Quebec nonchilled 250 40.3
## 18 Qn3 Quebec nonchilled 350 42.1
## 19 Qn3 Quebec nonchilled 500 42.9
## 20 Qn3 Quebec nonchilled 675 43.9
## 21 Qn3 Quebec nonchilled 1000 45.5
## 22 Qc1 Quebec chilled 95 14.2
## 23 Qc1 Quebec chilled 175 24.1
## 24 Qc1 Quebec chilled 250 30.3
## 25 Qc1 Quebec chilled 350 34.6
## 26 Qc1 Quebec chilled 500 32.5
## 27 Qc1 Quebec chilled 675 35.4
## 28 Qc1 Quebec chilled 1000 38.7
## 29 Qc2 Quebec chilled 95 9.3
## 30 Qc2 Quebec chilled 175 27.3
## 31 Qc2 Quebec chilled 250 35.0
## 32 Qc2 Quebec chilled 350 38.8
## 33 Qc2 Quebec chilled 500 38.6
## 34 Qc2 Quebec chilled 675 37.5
## 35 Qc2 Quebec chilled 1000 42.4
## 36 Qc3 Quebec chilled 95 15.1
## 37 Qc3 Quebec chilled 175 21.0
## 38 Qc3 Quebec chilled 250 38.1
## 39 Qc3 Quebec chilled 350 34.0
## 40 Qc3 Quebec chilled 500 38.9
## 41 Qc3 Quebec chilled 675 39.6
## 42 Qc3 Quebec chilled 1000 41.4
## 43 Mn1 Mississippi nonchilled 95 10.6
## 44 Mn1 Mississippi nonchilled 175 19.2
## 45 Mn1 Mississippi nonchilled 250 26.2
## 46 Mn1 Mississippi nonchilled 350 30.0
## 47 Mn1 Mississippi nonchilled 500 30.9
## 48 Mn1 Mississippi nonchilled 675 32.4
## 49 Mn1 Mississippi nonchilled 1000 35.5
## 50 Mn2 Mississippi nonchilled 95 12.0
## 51 Mn2 Mississippi nonchilled 175 22.0
## 52 Mn2 Mississippi nonchilled 250 30.6
## 53 Mn2 Mississippi nonchilled 350 31.8
## 54 Mn2 Mississippi nonchilled 500 32.4
## 55 Mn2 Mississippi nonchilled 675 31.1
## 56 Mn2 Mississippi nonchilled 1000 31.5
## 57 Mn3 Mississippi nonchilled 95 11.3
## 58 Mn3 Mississippi nonchilled 175 19.4
## 59 Mn3 Mississippi nonchilled 250 25.8
## 60 Mn3 Mississippi nonchilled 350 27.9
## 61 Mn3 Mississippi nonchilled 500 28.5
## 62 Mn3 Mississippi nonchilled 675 28.1
## 63 Mn3 Mississippi nonchilled 1000 27.8
## 64 Mc1 Mississippi chilled 95 10.5
## 65 Mc1 Mississippi chilled 175 14.9
## 66 Mc1 Mississippi chilled 250 18.1
## 67 Mc1 Mississippi chilled 350 18.9
## 68 Mc1 Mississippi chilled 500 19.5
## 69 Mc1 Mississippi chilled 675 22.2
## 70 Mc1 Mississippi chilled 1000 21.9
## 71 Mc2 Mississippi chilled 95 7.7
## 72 Mc2 Mississippi chilled 175 11.4
## 73 Mc2 Mississippi chilled 250 12.3
## 74 Mc2 Mississippi chilled 350 13.0
## 75 Mc2 Mississippi chilled 500 12.5
## 76 Mc2 Mississippi chilled 675 13.7
## 77 Mc2 Mississippi chilled 1000 14.4
## 78 Mc3 Mississippi chilled 95 10.6
## 79 Mc3 Mississippi chilled 175 18.0
## 80 Mc3 Mississippi chilled 250 17.9
## 81 Mc3 Mississippi chilled 350 17.9
## 82 Mc3 Mississippi chilled 500 17.9
## 83 Mc3 Mississippi chilled 675 18.9
## 84 Mc3 Mississippi chilled 1000 19.9
CO2$conc <- as.factor(CO2$conc)
w1b1 <- subset(CO2, Treatment == 'chilled')
fit16 <- aov(uptake ~ (conc*Type) + Error(Plant/conc), w1b1)
summary(fit16)
##
## Error: Plant
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Type 1 2667.2 2667.2 60.41 0.00148 **
## Residuals 4 176.6 44.1
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Error: Plant:conc
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## conc 6 1472.4 245.40 52.52 1.26e-12 ***
## conc:Type 6 428.8 71.47 15.30 3.75e-07 ***
## Residuals 24 112.1 4.67
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
par(las=2)
par=(mar=c(10, 4, 4, 2))
with(w1b1, interaction.plot(conc, Type, uptake, type="b", col=c("red", "blue"), pch=c(16, 18), main="Interaction Plot for Plant Type and Concentraction"))
image.png
boxplot(uptake ~ Type*conc, data=w1b1, col=(c("gold", "green")), main = "Chilled Quebec and Mississippi Plants", ylab = "Carbon dioxide uptake rate (umol/m^2 sec)")
image.png
百度学习了一下，重复测量方差分析的R格式：model=aov(Y ~ B * W + Error(Subject/W))，其中B是组间因子，W是组内因子，subject是实验对象的ID。
下面自己构建一个数据集df7演示学习，数据包括两个N水平(N200,N300)，每个氮水平下分别在5个时期测定两个品种5株的biomass。这里N是组间因子，T是组内因子。
df7 <- read.table(file = "D:/Documents/R wd/df7.csv", header = T, sep = ",") # 数据导入。
df7 # 查看数据。
## Plant N t1 t2 t3 t4 t5
## 1 Q1 200 0.1 4.5 9.9 11.0 15.2
## 2 Q1 200 0.2 4.2 8.1 12.2 15.0
## 3 Q1 200 0.1 4.0 8.3 11.8 15.1
## 4 Q1 200 0.2 4.7 7.2 12.8 16.0
## 5 Q1 200 0.1 4.5 7.1 11.5 15.4
## 6 Q2 200 0.3 4.6 8.0 12.7 15.8
## 7 Q2 200 0.1 4.8 9.6 12.5 15.4
## 8 Q2 200 0.3 5.3 9.2 13.0 14.8
## 9 Q2 200 0.4 5.5 9.5 13.5 14.9
## 10 Q2 200 0.2 5.2 10.0 13.8 15.0
## 11 M1 300 0.8 8.6 15.0 19.5 23.5
## 12 M1 300 0.9 8.8 14.7 19.6 23.8
## 13 M1 300 0.7 9.0 16.5 19.4 23.4
## 14 M1 300 0.8 8.4 15.2 18.8 25.1
## 15 M1 300 0.7 8.2 16.5 18.6 25.0
## 16 M2 300 0.6 8.1 14.8 18.0 24.8
## 17 M2 300 0.9 7.9 15.8 19.0 24.7
## 18 M2 300 1.0 7.5 16.8 18.7 24.3
## 19 M2 300 0.8 7.8 14.6 18.6 24.9
## 20 M2 300 0.9 7.7 14.2 18.7 25.0
attach(df7) # 将数据集df7加入搜索路径。
library(reshape2) # 调用reshape2包。
w2b2 <- melt(df7,id = c("N","Plant"),variable.name = "T", value.name="Biomass") # 宽格式数据变为长格式。
w2b2 # 查看数据。
## N Plant T Biomass
## 1 200 Q1 t1 0.1
## 2 200 Q1 t1 0.2
## 3 200 Q1 t1 0.1
## 4 200 Q1 t1 0.2
## 5 200 Q1 t1 0.1
## 6 200 Q2 t1 0.3
## 7 200 Q2 t1 0.1
## 8 200 Q2 t1 0.3
## 9 200 Q2 t1 0.4
## 10 200 Q2 t1 0.2
## 11 300 M1 t1 0.8
## 12 300 M1 t1 0.9
## 13 300 M1 t1 0.7
## 14 300 M1 t1 0.8
## 15 300 M1 t1 0.7
## 16 300 M2 t1 0.6
## 17 300 M2 t1 0.9
## 18 300 M2 t1 1.0
## 19 300 M2 t1 0.8
## 20 300 M2 t1 0.9
## 21 200 Q1 t2 4.5
## 22 200 Q1 t2 4.2
## 23 200 Q1 t2 4.0
## 24 200 Q1 t2 4.7
## 25 200 Q1 t2 4.5
## 26 200 Q2 t2 4.6
## 27 200 Q2 t2 4.8
## 28 200 Q2 t2 5.3
## 29 200 Q2 t2 5.5
## 30 200 Q2 t2 5.2
## 31 300 M1 t2 8.6
## 32 300 M1 t2 8.8
## 33 300 M1 t2 9.0
## 34 300 M1 t2 8.4
## 35 300 M1 t2 8.2
## 36 300 M2 t2 8.1
## 37 300 M2 t2 7.9
## 38 300 M2 t2 7.5
## 39 300 M2 t2 7.8
## 40 300 M2 t2 7.7
## 41 200 Q1 t3 9.9
## 42 200 Q1 t3 8.1
## 43 200 Q1 t3 8.3
## 44 200 Q1 t3 7.2
## 45 200 Q1 t3 7.1
## 46 200 Q2 t3 8.0
## 47 200 Q2 t3 9.6
## 48 200 Q2 t3 9.2
## 49 200 Q2 t3 9.5
## 50 200 Q2 t3 10.0
## 51 300 M1 t3 15.0
## 52 300 M1 t3 14.7
## 53 300 M1 t3 16.5
## 54 300 M1 t3 15.2
## 55 300 M1 t3 16.5
## 56 300 M2 t3 14.8
## 57 300 M2 t3 15.8
## 58 300 M2 t3 16.8
## 59 300 M2 t3 14.6
## 60 300 M2 t3 14.2
## 61 200 Q1 t4 11.0
## 62 200 Q1 t4 12.2
## 63 200 Q1 t4 11.8
## 64 200 Q1 t4 12.8
## 65 200 Q1 t4 11.5
## 66 200 Q2 t4 12.7
## 67 200 Q2 t4 12.5
## 68 200 Q2 t4 13.0
## 69 200 Q2 t4 13.5
## 70 200 Q2 t4 13.8
## 71 300 M1 t4 19.5
## 72 300 M1 t4 19.6
## 73 300 M1 t4 19.4
## 74 300 M1 t4 18.8
## 75 300 M1 t4 18.6
## 76 300 M2 t4 18.0
## 77 300 M2 t4 19.0
## 78 300 M2 t4 18.7
## 79 300 M2 t4 18.6
## 80 300 M2 t4 18.7
## 81 200 Q1 t5 15.2
## 82 200 Q1 t5 15.0
## 83 200 Q1 t5 15.1
## 84 200 Q1 t5 16.0
## 85 200 Q1 t5 15.4
## 86 200 Q2 t5 15.8
## 87 200 Q2 t5 15.4
## 88 200 Q2 t5 14.8
## 89 200 Q2 t5 14.9
## 90 200 Q2 t5 15.0
## 91 300 M1 t5 23.5
## 92 300 M1 t5 23.8
## 93 300 M1 t5 23.4
## 94 300 M1 t5 25.1
## 95 300 M1 t5 25.0
## 96 300 M2 t5 24.8
## 97 300 M2 t5 24.7
## 98 300 M2 t5 24.3
## 99 300 M2 t5 24.9
## 100 300 M2 t5 25.0
str(w2b2) # 查看数据结构。
## 'data.frame': 100 obs. of 4 variables:
## $ N : int 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 ...
## $ Plant : chr "Q1" "Q1" "Q1" "Q1" ...
## $ T : Factor w/ 5 levels "t1","t2","t3",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## $ Biomass: num 0.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 0.4 0.2 ...
w2b2$N <- as.factor(w2b2$N) # df7数据集中N转为因子。
w2b2$T <- as.factor(w2b2$T) # df7数据集中T转为因子。
fit17 <- aov(Biomass ~ T*N + Error(Plant/T), w2b2) # 构建模型。
summary(fit17) # 返回结果。
##
## Error: Plant
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## N 1 697.0 697.0 267.9 0.00371 **
## Residuals 2 5.2 2.6
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Error: Plant:T
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## T 4 4643 1160.7 1366.71 2.28e-11 ***
## T:N 4 219 54.7 64.36 4.03e-06 ***
## Residuals 8 7 0.8
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Error: Within
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Residuals 80 25.16 0.3145
par(las=2) # las 参数控制x轴和y轴的刻度线上的标签与两条轴的方向，可选值为0,1,2,3，默认值0表示总是平行于坐标轴；1表示总是水平方向；2表示总是垂直于坐标轴；3表示总是垂直方向。
par(mar=c(10,4,4,2)) # 设置图形空白边界行数，mar=c(bottom,left,top,right)，缺省为mar=c(5.1,4.1,4.1,2.1)
with(w2b2, interaction.plot(T,N,Biomass, type = "b", col = c("red","blue"), pch = c(16,18), main = "Interaction Plot for Nitrogen and Time")) # 结果可视化。
image.png
boxplot(Biomass ~ N*T, data=w2b2, col=(c("gold","green")),
main="Nitrogen and Time",
ylab="Biomass") # 结果可视化。
image.png
参考资料：
- 《R语言实战》（中文版），人民邮电出版社，2013.