【算法】Rabin-Karp 算法

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1.概述

（1）Rabin-Karp 算法是由 Richard M. Karp 和 Michael O. Rabin 于 1987 提出的字符串匹配算法，它的基本思想是利用哈希函数对字符串进行编码，通过比较哈希码来判断是否可能发生匹配，并在发生哈希碰撞时进一步验证字符串是否匹配。

（2）Rabin-Karp 算法的步骤如下：

• ① 计算模式字符串的哈希码。
• ② 计算目标串中同样长度的窗口字符串的哈希码。
• ③ 比较窗口字符串的哈希码和模式字符串的哈希码：
  • 如果哈希码相同，进行进一步比较确认是否匹配。
  • 如果哈希码不同，移动窗口到下一个位置，通过哈希码滑动更新窗口的哈希码。
• ④ 重复步骤 ③，直到找到匹配或遍历完整个文本字符串。

Rabin-Karp 算法的关键点是哈希函数的选择和哈希码的比较。一个好的哈希函数应该能够实现高效计算和压缩成较小的哈希码，以提高算法的效率。而比较哈希码可能会产生哈希碰撞，即不同字符串具有相同的哈希码。当发生哈希碰撞时，需要通过进一步的比较来确定字符串是否匹配。

（3）在Rabin-Karp算法中，计算字符串的哈希值通常采用的方式是基于进制转换的方法。具体而言，我们可以使用多项式哈希 (polynomial hashing) 来计算字符串的哈希值。考虑一个字符串 s，其中包含 n 个字符，字符的 ASCII 值分别为 c₁, c₂, …, c_n。我们选择一个适当的基数，通常是 ASCII 表的大小，这里假设为 256。我们还选择一个素数，通常是 Rabin-Karp 算法的参数，这里假设为 101。那么，字符串 s 的哈希值 H(s) 计算方式如下：

$H(s)=((c_1\times p^{(n-1)})+(c_2\times p^{(n-2)})+...+(c_n\times p^0))\%M$

其中，p 表示进制数（这里是 256），n 表示字符串的长度，M 表示选择的素数（这里是 101）。例如，模式字符串 “ABAB” 的哈希值为 ((65 × 256³) + (66 × 256²) + (65 × 256¹) + (66 × 256⁰)) % 101 = 13。

通过将字符的 ASCII 值乘以进制数的幂次方，并对结果进行求和，再对素数 M 取模，即可得到字符串的哈希值。这种计算方法具有较好的散列性质，可以在较小的哈希空间中尽可能地减少碰撞的发生。

（4）让我们通过一个例子来说明 Rabin-Karp 算法的工作过程。首先，假设我们有以下文本和模式字符串：文本串 “ABABABABC” 以及模式串 “ABAB”。此外，我们选择基数为 256，素数为 101 作为算法的参数。

• 首先，我们计算模式字符串 “ABAB” 的哈希值为 13。
• 接下来，我们计算文本中第一个与模式字符串等长的子串 “ABAB” 的哈希值。它的哈希值也为 13。
• 由于哈希值相等，我们需要进行进一步的检查。我们比较模式字符串 “ABAB” 和文本中的子串 “ABAB” 字符串是否完全匹配。在此例中，它们是完全匹配的。
• 如果我们没有找到匹配，我们需要通过滑动窗口的方式来更新子串的哈希值。在这种情况下，我们将滑动窗口向右移动一个位置，得到下一个子串 “BABA” 的哈希值。
• 我们重复这些步骤，直到找到所有匹配的位置。

（5）上面需要注意的是，我们可以通过当前窗口字符串 “ABAB” 的哈希值来直接计算下一个窗口字符串 “BABA” 的哈希值，从而避免再次遍历 “BABA” 来计算其哈希值，提高了效率。我们以下图（来自《算法导论》）来说明：

为了方便说明，我们可以将字符串看作对应的数字字符串，再上图中，我们可以快速通过哈希值 31415 来计算下一个窗口的哈希值 14152（取模之后再计算也是一样的效果）。其主要思想在于 31415 的低 4 位与 14152 的高 4 位相同，并且我们知道 31415 的最高位与 14152 的最低位哦，因此只需要简单的数学计算便可以得到下一个窗口字符串的哈希值，从而保证在常数时间内更新下一个窗口字符串的哈希值。

2.代码实现

（1）Rabin-Karp 算法的代码实现如下：

class RabinKarpAlgorithm {

    //用于取哈希值时的除法因子
    private static final int PRIME = 101;
    //字符集的大小
    private static final int RADIX = 256;

    /*
    * s: 目标串
    * t: 模式串
    * 返回值: 模式串在目标串中所有匹配成功的位置
    * */
    public List<Integer> rabinKarp(String s, String t) {
        List<Integer> indices = new ArrayList<>();

        int sLen = s.length();
        int tLen = t.length();

        int h = 1;
        for (int i = 0; i < tLen - 1; i++) {
            h = (h * RADIX) % PRIME;
        }

        //初始化窗口内字符串和模式串的哈希值
        int sHash = 0;
        int tHash = 0;
        for (int i = 0; i < tLen; i++) {
            sHash = (sHash * RADIX + s.charAt(i)) % PRIME;
            tHash = (tHash * RADIX + t.charAt(i)) % PRIME;
        }

        for (int i = 0; i <= sLen - tLen; i++) {
            //当前窗口中字符串的哈希码与模式串的哈希码相同
            if (sHash == tHash) {
                //检查窗口中字符串 s[i...i + tLen - 1] 是否与模式串 t 相等
                int j;
                for (j = 0; j < tLen; j++) {
                    if (s.charAt(i + j) != t.charAt(j)) {
                        break;
                    }
                }
                if (j == tLen) {
                    //匹配成功
                    indices.add(i);
                }
            }
            if (i == sLen - tLen) {
                return indices;
            }
            //更新窗口中字符串的哈希值
            sHash = ((sHash - s.charAt(i) * h) * RADIX + s.charAt(i + tLen)) % PRIME;
            if (sHash < 0) {
                sHash += PRIME;
            }
        }
        return indices;
    }
}

（2）上述代码的测试如下：

class Test {
    public static void main(String[] args) {
        RabinKarpAlgorithm rabinKarpAlgorithm = new RabinKarpAlgorithm();
        String s = "cvbzxcvbnmacvb";
        String t = "cvb";
        List<Integer> indices = rabinKarpAlgorithm.rabinKarp(s, t);
        System.out.println(indices);
    }
}

输出结果如下：

[0, 5, 11]

3.应用

（1）Rabin-Karp 算法是一种常用的字符串匹配算法，适用于以下几个应用场景：

• 字符串匹配：Rabin-Karp 算法可以用于在一个长文本串中高效地查找一个模式串的出现位置。它通过使用哈希函数和滚动哈希的技巧，在线性时间内完成匹配操作。
• 模式匹配：Rabin-Karp 算法可用于检测一个文本串中是否包含指定的模式串。这在文本搜索、文件内容查找等应用中非常有用。
• 字符串去重：Rabin-Karp 算法可以用于快速识别和去重重复的子串。通过计算子串的哈希值，并使用哈希表或哈希集合来记录已经出现的子串，可以高效地实现字符串去重的功能。
• 数据校验：Rabin-Karp 算法可以用于快速计算数据块的哈希值，可以在数据传输或存储过程中用来验证数据的完整性。通过对比哈希值，可以判断数据是否被篡改或损坏。

（2）大家可以去 LeetCode 上找相关的字符串匹配的题目来练习，或者也可以直接查看 LeetCode 算法刷题目录 (Java) 这篇文章中的字符串章节。如果大家发现文章中的错误之处，可在评论区中指出。