发现数学之美--微积分的起源和用途（一文搞懂微积分）

数学，改变世界的基石。微积分十九世纪的三大自然发现之一，迪卡尔建立了解析几何，把数与图结合在一起，微积分的发现与创立，是数学新的里程碑，解决了常规方法无法解决的问题，是一次伟大的革命。迪卡尔的解析几何，牛顿的微积分，都是创造，互相关联，缺一不可。

前言

数学，改变世界的基石。伟大的数学家有牛顿、阿基米德、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、约翰·伯努利、庞加莱、黎曼、欧几里得、克莱因、笛卡尔、狄利克雷、费马、毕达哥拉斯、洛必达等。

阿基米德、牛顿、高斯是站在金字塔顶端的人物，是数学史上的天才，再加上一个欧拉，这四人是数学史上公认的4名最伟大的数学家。

数学其实挺美，并不枯燥。你觉得枯燥只是因为你被灌输的知识，习惯了死背公式，没搞懂原理并把它用起来。拿微积分举例，看下它的起源和强大的用途。

微积分十九世纪的三大自然发现之一，迪卡尔建立了解析几何，把数与图结合在一起，微积分的发现与创立，是数学新的里程碑，解决了常规方法无法解决的问题，是一次伟大的革命。迪卡尔的解析几何，牛顿的微积分，都是创造，互相关联着，缺一不可。

微积分是数学中的一门重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分、微分方程等多个概念，在工程、科学、经济等领域都有广泛的应用。微积分分为五个主要的章节：导数与微分、积分与定积分、微分方程与应用、多元函数与偏导数、向量函数与曲线积分。

真正理解了“微积分的基本定理”，就会觉得这东西并不复杂。但是，这个定理的厉害之处在于应用范围很广。虽然看起来很普通，但是很实用。可惜大学的课程往往只讲公式，不讲原理，听的人云里雾里的。

以下拿一个真实的应用，来分析下什么是微积分。微积分不是一个独立的词，它包含了微分和积分。

先从积分开始

先来了解下积分，为何先从积分开始？

阿基米德在公元前 3 世纪就研究了用于计算面积的积分，牛顿和莱布尼茨在 17 世纪才想出微分的方法。二者中间相差了1800年以上的时间。

几乎所有的大学数学教科书都先说明微分后再引入其逆运算—不定积分。而且，用于计算面积的定积分被定义为不定积分的差。虽然按照上述顺序有逻辑地教授数学当然合乎情理，但历史上的发展顺序恰好相反。阿基米德在公元前 3 世纪就研究了用于计算面积的积分，牛顿和莱布尼茨在 17 世纪才想出微分的方法。二者中间相差了1800年以上的时间。

在历史上积分先被发现，这其中存在一定原因。积分与面积、体积等具体量的计算有着直接的关系。另外，研究微分前，首先必须准确地理解无穷小和极限等概念。例如物体运动的速度需要通过微分定义，不过因为在古希腊时期并没有确定极限的概念，所以出现了芝诺的“飞矢不动”悖论。

因此在学习复杂的微分前，最好还是正确把握从直觉上相对容易理解的积分，再来思考其逆运算微分。因此，先解释积分。不管你是在大学的微积分课上听得不明不白，还是正在打算开始学习微积分，都可以试着“先从积分开始”。

积分是从计算图形面积开始的。面积的单位包括平方米、平方千米等，即都带有“平方”二字。边长为1米的正方形面积等于1平方米。也就是说，面积是以正方形作为单位，计算图形的面积相当于几个正方形。如果是长方形，该如何计算面积呢？在小学阶段，我们就学过长方形的面积是长和宽的乘积，不过现在我们先假装不知道长方形面积如何计算的，只知道正方形的面积计算，没有学过长方形这个计算公式。

假设已知长方形宽 1 米，长 2 米，那么竖着从正中间将长方形分成两个部分，就得到两个边长为 1 米的正方形，所以长方形的面积就等于 2 平方米。也就是说，长和宽的乘积等于长方形的面积。

接下来再假设 n 和 m 均为自然数，已知长方形宽 n 米，长 m 米，那么只要宽被等分成 n 部分，长度被等分成 m 部分，就能得到 n × m个边长为 1 米的正方形（图 7-2）。该长方形的面积正好等于正方形面积的 n × m 倍，即 n × m 平方米。结果还是等于长和宽的乘积。

积分究竟计算什么

使用阿基米德的夹逼定理，能计算更复杂的曲线图形的面积。用笛卡儿坐标表示的话，如图 78 所示，直线可以表示为 y = ax + b，抛物线表示为

假设已知某函数 f(x)，那么我们来思考一下曲线 y = f(x)。如图7-9 所 示，假 设 在 区 间 a ≤ x ≤ b上 f(x) 的值始终大于 0，那么我们来研究一下曲线 y = f(x) 和y = 0、x = a、x = b 这三条直线围成的图形 A（图中的阴影部分）。如果知道如何计算图形 A 的面积，就能通过拼组的方法计算任何曲线围成的图形面积。

曲线 y = f(x) 沿着 y 轴方向上升或下降。为了便于计算，假设在区间 a ≤ x ≤ b 上，y = f(x) 一直在增大。在其他情况下，将区间a ≤ b 分成两部分，即 f(x) 不断增大的区间和 f(x) 不断减小的区间。只要将以下方法分别代入上述两个区间即可。

为了用阿基米德的夹逼定理来计算图形 A 的面积，首先将区间a ≤ x ≤ b 分成 n 部分，如图 710 中的图形 Bn 和 Cn。图形 A 包含图形 Bn，同时被包含在图形 Cn 中。图形 Bn 和 Cn 均是长方形集合，所以能够计算出面积。

如图 711 所示，面积 (Cn) 和面积 (Bn) 的差等于

也就是底 ε = (b − a)/n、高 = (f(b) − f(a)) 的长方形的面积。n 的值越大，ε 的值就越小，因此图形 Bn 和图形 Cn 的面积就越接近。当 ε 的值达到极限即等于 0 时，两个图形的面积相等。达到极限时的值也就是图形 A 的面积。

按照上述方法计算的图形 A 的面积叫作“函数 f(x) 在区间 a ≤ x ≤ b上的积分”，用公式记作

与牛顿同时创立微积分法的莱布尼茨发明了符号

是“求和”(sum)的首字母“S”的拉长。而且，“dx”的 d 是指“求差”(difference)的首字母。当将图形近似为长方形集合时， 一个长方形的底长等于 x + ε 和

x 的“差”。高为 f(x)、底为 e 的长方形面积等于 f(x)e， 因此可以用符号 dx 代替 e，即 f(x)dx。也就是说，

中包含着莱布尼茨的想法， 即“积分是指在 x = a 到 b 的区间上排列出高等于 f(x)、底为 dx 的长方形，并求出它们的面积之和”。

上文中解释的积分沿用了 19 世纪德国数学家波恩哈德 ·黎曼的定义，所以称作“黎曼积分”。其实积分包括许多类，例如法国数学家亨利 ·勒贝格提出的“勒贝格积分”、日本数学家伊藤清提出的“伊藤积分”等。黎曼积分足以处理我们在高中所学的函数问题，不过当我们需要处理类似股票价格等随机波动的数值时，则需要用到伊藤积分。伊藤积分还被用于决定期权的价格， 因此伊藤清被认为是“在华尔街最有名的日本人”。

不定积分与定积分

定积分和不定积分是微积分中两个重要的概念。定积分可以理解为函数在某个区间内的面积，而不定积分是函数的反导数(原函数)。积分是微积分理论的另一个重要分支，它可以用来计算曲线下方的面积、弧长、体积以及质心等。

积分分为不定积分和定积分，定积分是一个数，而不定积分是一个表达式。在计算定积分时，我们需要先找到被积函数的原函数，然后进行定积分的计算。通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以将定积分的计算转化为不定积分的计算。不定积分和定积分的存在性也有所不同。连续函数一定存在不定积分，而只有当函数在有限区间内只有有限个间断点且函数有界时，才存在定积分。

总之，不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求一个函数的原函数或反导数的过程。

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分互为逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。

牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。

牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。

牛顿 - 莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(B)-F(a)即可。该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系。

举例，如何求解以下红色区域的阴影面积？S = S矩-S1-2S2，类似求解阴影面积的题，学生时代的你是否觉得很恐怖？心想不如先求下我的心里阴影面积。

S2的绿色阴影面积如何求得？可以借助积分，从a点到b点的积分，

可以写作：

那么接下来呢？表示是表示出来了，如何计算从a到b的绿色阴影的面积？即定积分如何计算？

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

F(x)叫做f(x)的原函数，f(x)叫做F(x)的导数。

根据牛顿-莱布尼兹公式，求积分变得简单了，变成了一>求原函数。

计算由抛物线y=x^2和x轴（假设从0到1），所围成的曲边梯形的面积A：

F(b) - F(a), 就等于1/3 - 0  =  1/3。因此所围成的那一部分曲线面积为1/3。 

因此上上图中的s2部分的绿色阴影面积可以利用微积分求解出来。s2 = (1/3)*b^3 - (1/3)*a^3

上述的f(x) = x^2是一条抛物线，如果换成是一条直线就更容易看出来了。如果f(x) = x,则可以看做是一条从0坐标开始的匀速运动：

 设a=0,b=2 ,则图上三角形的面积 = 底*高/2 ，等于2*2/2 = 2。如果用积分算一算：

S(b) = x^2/2 = 2, S(a) = 0, S(b) - S(a) = 2。会发现使用三角形面积公式和使用积分算出来是一致。

计算示例

以下再给出几个就定积分的例子，方便理解。

函数y=sinx的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx，定义域是 [-1，1] ，值域是y∈ [－π/2 , π/2] ; 如果x = sin t，则t = arcsin x。其中arcsin x是反正弦函数，表示对于给定的x值，对应的sin t值。arcsin 1 的值为 π/2。在三角函数中， arcsin x 表示对于给定的 x 值，对应的 sin t 值。在这个例子中，x 的值为 1， 对应的 sin t 值为 sin(π/2) = 1。

ln是对数运算符，e是指数运算符，它们的关系和加减、乘除的关系一样，表示相逆的两种运算。若y=lnx，则x=e^y（e的y次方）。 e^x和ln(x)分别是自然指数函数和自然对数函数，是一对函数与反函数，e是自然常数，约等于2.718182

e与In的转化公式，公式如下：e^ln(x)=x，ln(e^x)=x，lne=1，lnx=y，x=e^y

对数函数的求导：

导数与微分

既然上面使用牛顿-莱布尼兹公式已经表达出来了积分，为什么还要提导数和微分呢？因为上面你只是简单的使用了公式，如何求解积分？公式是怎么来的？这就跟导数和微分有关系了。

导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在整个定义域上的变化情况。导数(求切线)是微积分重要的组成部分，在此基础上，数学家由研究了它的反运算(积分)，完成了面积的求解。

通过研究函数的导数和微分，我们可以获得更多关于函数性质的信息，从而更好地理解和分析函数的行为。 此外，导数和微分也在数值计算中发挥着重要作用。通过计算函数的导数，我们可以确定函数的极值点、拐点和切线方程等信息。微分方程则是研究自然界中许多现象的重要工具。

导数和微分是微积分理论的基础，它们可以用来描述曲线的变化率、切线斜率以及局部增长和减少的趋势等。导数是函数在某一点的变化率，用极限的概念表示；微分是函数在某一点的切线的近似值，用微分算子的形式表示。导数和微分是密切相关的，在求解导数的同时，也可以求出函数在某一点的微分值。

导数和微分是一回事吗？

微分和导数不是一回事，二者的概念很容易混淆让人产生迷惑。

二者定义不同、本质不同、几何意义不同。导数是微分之商（这个叫法并不严谨，只是就这么叫了。现代数学用极限重新严格定义了导数），导数的几何意义可以看做是函数在某一点处的斜率，而微分是在切线方向上函数因变量的增量。

1、微分和导数的定义

微分定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

求导定义：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

导数和微分的区别一个是比值、一个是增量。

导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值。

微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。

2、微分和导数的关系

对于函数f(x)，求导f'(x)=df(x)/dx，微分就是df(x)，微分和导数的关系为df(x)=f'(x)dx。

以函数 f(x) = x^2 为例，其导数的计算公式为：

在微积分中，由于极限的存在性，我们可以通过逐步缩小 △x 的值，从而求得 f(x) 在某一点的导数值。微分的几何意义是，设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，可以用切线段来近似代替曲线段。

导数是描述函数变化的快慢，微分是描述函数变化的程度。导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。而微分是一个函数表达式，用于自变量产生微小变化时计算因变量的近似值。

导数的几何意义是切线的斜率，微分的几何意义是切线纵坐标的增量。因此微分可以用来做近似运算和误差估计。最简单的一元情况下，导数是一个确定的数值，几何意义是切线斜率，物理意义是瞬时速度。

微分的计算可以使用基本微分公式。

基本微分公式是微积分中最基础的公式之一，它可以用来计算各种函数的微分。基本微分公式包括常数微分公式、幂函数微分公式、指数函数微分公式、对数函数微分公式、三角函数微分公式等。

常数微分公式是指对于任意常数c，其微分为0。幂函数微分公式是指对于任意幂函数y=x^n，其微分为y'=nx^(n-1)。指数函数微分公式是指对于任意指数函数y=a^x，其微分为y'=a^xlna。对数函数微分公式是指对于任意对数函数y=loga(x)，其微分为y'=1/(xlna)。三角函数微分公式是指对于任意三角函数y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x)，其微分分别为y'=cos(x)、y'=-sin(x)、y'=sec^2(x)。

基本微分公式的应用非常广泛，它可以用来求解各种函数的导数，从而帮助我们更好地理解函数的变化规律。在实际应用中，微分还可以用来求解曲线的切线、极值、凹凸性等问题，因此掌握基本微分公式对于学习微积分和解决实际问题都非常重要。

微积分的历史

这首先归功于笛卡尔创立的解析几何，它是代数与几何相结合的产物，使变量之间关系的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。

牛顿（1643 - 1727），伟大的物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。在2005年更是力压爱因斯坦，被评为“科学史上最有影响力的人”。牛顿生于英格兰一个农民家庭，是早产儿，生后勉强存活。童年时的牛顿不是神童，成绩并不突出，但喜爱读书与制作玩具。17岁时，还在读中学的牛顿被母亲召回田庄务农，但在牛顿的舅父和中学校长的竭力劝说下，牛顿在务农9个月后又被母亲允许返校学习。这位校长对牛顿母亲的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”

1661年，牛顿考入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，他在大学时钻研伽利略、开普勒、笛卡尔和沃利斯等人的著作。就数学思想的形成而言，笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

牛顿是一个天才，这一点也是无可否认的。

1665年，牛顿22岁，他当时刚获得了学位，大学因为伦敦大瘟疫关闭，牛顿不得不回家。在家的十八个月中，他提出了二项式定理，后来发展成一套新的数学理论，就是高等数学中的微积分。在此期间，他还研究了光学和万有引力定律。

牛顿在1665-1966年间发明了微分(求导)和积分，他称之为“正流数术”和“反流数术”，整理成了《流数简论》仅供同事传阅，从命名中可以看到牛顿微积分的运动学背景。关于流数的命名，牛顿解释道：“我把时间看作是连续的流动或增长，而其它量则随着时间而连续增长，我从时间的流动性出发，把所有其它量的增长速度称之为流数。”

牛顿将微积分的基本问题表述为“已知流量间的关系，求流数关系” 和“已知变量的流数间的关系的方程，求流量间的关系”。

牛顿用“导数”求解了已知位移求速度的问题，用“积分”求解了已知速度求位移的问题，并指出如何通过这种逆运算来计算面积，从而建立了微积分基本定理。

面积计算与求切线的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出(如巴罗的《几何学讲义》)，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律，揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础，正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦积分问题可解，许多问题都将迎刃而解。牛顿将他建立的统一的算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求面积与体积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。

这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分（求导）与积分，并证明了二者的互逆关系，而将这两类运算进一步统一成整体，这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义上，我们说牛顿发明了微积分。

当时在瑞士有个著名的数学家家族——伯努利家族，约翰·伯努利向他的哥哥雅克布·伯努利提出了最速降线问题。约翰·伯努利解决完后，又向欧洲的数学家发起挑战。

面对挑战，牛顿很快就解决了这个问题。值得一提的是当时的欧洲有很多天才数学家，莱布尼兹、洛比达、雅克布·伯努利等人也纷纷解决了这个问题。

要说牛顿有多厉害，在麦克·哈特所著的《影响人类历史进程的100名人排行榜》中，穆罕默德位列第一，牛顿名列第2位，在耶稣之前。

更厉害的是，牛顿活了八十岁，但他的后四十年都在研究神学。也就是说，牛顿的成果都是前半生发展的，22岁左右是个重要时期。

牛顿研究微积分，主要还是为了物理上的计算服务的，我们来看下牛顿是怎么推导微积分：

牛顿的微积分

牛顿归纳微积分的整体思路是：

• 证明求导是不定积分的逆运算，即微积分第一基本定理（《高等数学》同济版为求积分上限函数的导数）。
• 进而推出牛顿-莱布尼兹公式，即微积分第二基本定理。

1.1 微积分第一基本定理

牛顿尝试证明下面这个结论：

已知函数曲线下， 区间的面积为：

如果把上限 a换为 x,那么曲线下面积就为一个函数，我们称为积分上限函数：

下面我会分别介绍这两个步骤，从这两个步骤我们可以分别看出：

• 步骤一，推出微积分第一基本定理
• 步骤二，展示一下牛顿是怎么求解导数的

1.1.1 步骤一

在当时，导数这个词还没有，不过有一个等价的词，就是变化率，因此牛顿就从求 F(x)

的变化率出发。为了求变化率，牛顿是这么思考的：

以 B,b为底做一个矩形，图中虚线围起来的部分。

可以看出 o越小， 图上虚线所围成的的面积越接近 o与f(x)的乘积。

牛顿断言，当 o足够小的时候

F(x)关于o的增量为o*f(x)，根据变化率的定义，

 注意头上有个小点的为F(x)的流数（这里流数就是指的变化率），也就是现在的导数 。

至此：

实际上到了这里已经得出了微积分第一基本定理：

从这里可以看出，面积函数F(x)实际上是 f(x)的一个原函数。

1.1.2 步骤二

下面就是要计算出f(x)等于多少了。费马和卡瓦列里计算出了：

替换一下就可以得出：

基于此结论，牛顿继续推了下去（二项式指的是 n 为自然数，而广义二项式指的是 n为有理数，广义二项式公式是牛顿非常得意的一个数学推论）：

证明完毕

1.2 牛顿-莱布尼兹公式

顺着积分第一基本定理出发，要推出了大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式（微积分第二基本定理）就很容易了。

也就是:

积分第二定理最大的意义是大大简化了运算。

1.3 手稿

下面是牛顿的手稿，可以让我们看看微积分青涩的模样：

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