【算法刷题】Day19

1. 山脉数组的峰顶索引

原题链接

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题干：

山脉数组
找峰顶 返回索引

算法原理：

由于这个数组具有“二段性”，使用二分查找
目标是左边的：左边小于右边
目标值右边的：左边大于右边

• 峰顶数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1]
• 峰顶左边的数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1] ，也就是呈现上升趋势
• 峰顶右边数据的特点： arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ，也就是呈现下降趋势

• 如果 mid 置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索
• 如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索
• 如果 mid 位置就是⼭峰，直接返回结果

代码：

class Solution {
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int left = 1;
        int right = arr.length - 2;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left +1) / 2;
            if(arr[mid] > arr[mid - 1]) {
                left = mid;
            }else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

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2. 寻找峰值

原题链接

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题干：

峰值元素：严格大于左右相邻的元素

算法原理：

首先，这道题有三种情况

1. 暴力解法

从第一个位置开始，一直向后走
分情况讨论

2. 二分查找

任取⼀个点 i ，与下⼀个点 i + 1 ，会有如下两种情况：

• arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负无穷），那么我们可以去左侧去寻找结果
• arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最右侧是负无穷），那么我们可以去右侧去寻找结果
  
  接下来按照模版写就可以

代码：

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < nums[mid + 1]) {
                left = mid + 1;
            }else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
}

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3. 下降路径最小和

原题链接

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题干：

有一个 n * n 的整形数组
找到下降路径的最小和

比如示例一，就有两种情况
1 可以向下、向左下、向右下

算法原理：

1. 状态表示

dp[i][j] 表示：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最小和

2.状态转移方程

对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：

1. 从正上方 [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置
2. 从左上方 [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置
3. 从右上方 [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置

我们要的是三种情况下的「最小值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +1])) + matrix[i][j]

3. 初始化

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化

• 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」
• 「下标的映射关系」

在本题中，需要「加上⼀行」，并且「加上两列」
所有的位置都初始化为无穷大，然后将第⼀行初始化为 0 即可

4. 填表顺序

从上往下

5. 返回值

返回「dp表中最后⼀行的最小值」

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代码：

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 2];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i][n + 1] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j+1])) + matrix[i-1][j-1];
            }
        }
        int ret = Integer.MAX_VALUE;;
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            ret = Math.min(ret, dp[n][j]);
        }
        return ret;
    }
}