基本概念
线段树(segment tree)也是一种二叉搜索树，线段树的每一个节点都是一个区间，叶子节点则是一个单点区间，也即。对于一个非叶子节点，其左子节点的区间为，右子节点的区间为。需要注意的是，线段树的区间是其数组元素下标的区间，区间大小与数组中元素的大小无关。
根据上述定义，线段树任一非根，非叶子节点的区间长度都是其父节点的区间长度的一半，所以，线段树是一个平衡二叉树。他的叶子节点的数目为N，即整个区间的长度。
线段树的用途很广，主要用于进行更新和查询操作，这里的更新或者查询一般至少有一个指的是区间的更新或者查询。
线段树的节点定义
struct Node{
int l, r, mx;
}tr[MAXN * 4]; //习惯上将线段树的大小开到原始数组的4倍
/*
l : 区间左端点
r : 区间右端点
mx : 以l, r为下标区间中元素的最大值
实际上，线段树数组足够的空间==原始数组n可向上取到的最近的2的某个次方的两倍
*/
对于一个线段树数组来说，某一节点(编号为d)的左孩子存储在2 * d， 右孩子存储在2 * d + 1
- 在c/c++中，将一个数乘以2的x次方可以写成：2 << x，故上面的 " MAXN * 4 " 可以写成MAXN << 2，实际上，对于 "<<" 和 ">>" 运算符，其实际含义是将左操作数的二进制数向左或向右移动指定的位数（比如A == 15，在二进制中A的值为：0000 1111，A << 2为：0011 1100），表现在十进制中就是将操作数乘或除2^x。
建树
void build(int d, int l, int r){
tr[d].l = l, tr[d].r = r;
if(l == r){
tr[d].mx = arr[l];
return;
}
int mid = (l + r) / 2, lc = d * 2, rc = d * 2 + 1;
build(lc, l, mid);
build(rc, mid + 1, r);
tr[d].mx = max(tr[lc].mx, tr[rc].mx);
}
一般会将更新节点信息的操作称为Push或PushUp，在上述建树例子中更新节点信息的操作是：tr[d].mx = max(tr[lc].mx, tr[rc].mx); 一般会将这一句抽离出来写成一个独立的函数：
void Push(int d){
td[d].mx = max(tr[d << 1].mx, tr[d << 1 | 1].mx);
}
查询
int query(int d, int l, int r){ //查询一个区间内的最大值
if(tr[d].l == l && tr[d].r == r)return tr[d].mx;
int mid = (tr[d].l + tr[d].r) / 2, lc = d * 2, rc = d * 2 + 1;
if(r <= mid)return query(lc, l, mid);
else if(l > mid)return query(rc, mid, r);
else return max(query(lc, l, mid), query(rc, mid + 1, r));
}
线段树查询操作的时间复杂度可以达到O(logn)，有如下定理：
Thm：当n >= 3时，一个的线段树可以将的任意子区间分解为不超过个子区间。
更新及「慵懒更新」
void modify(int d, int pos, int v){ //将位置为pos的元素更改为v
if(tr[d].l == tr[d].r && tr[d].mx == pos){
tr[d].mx = v;
return;
}
int mid = (tr[d].l + tr[d].r) / 2, lc = d * 2, rc = d * 2 + 1;
if(pos <= mid)modify(lc, pos, v);
else modify(rc, pos, v);
tr[d].mx = max(tr[lc].mx, tr[rc].mx);
}
对于线段树的更新还有一种「慵懒更新」方式，具体做法是，如果更新的区间与当前节点的区间完全重叠，那么就可以只对这个节点更新，并对这个节点做标记，对这个节点的子节点就无需再更新。若后续操作中存在关于这个区间，或其子区间的查询，那么一定会经过这个区间，当再次经过这个区间的时候就更新起子区间的标记，然后置这个区间的标记为"false"即可。下面以hdoj1698为例介绍「慵懒更新」。
慵懒更新
void update(int L, int R, int val, int d){
if(Tr[d].l == L && Tr[d].r == R){ //区间完全覆盖
Tr[d].lazy = val;
return;
}
int mid = Tr[d].l + Tr[d].r >> 1;
if(Tr[d].lazy != 0){ //如果这个区间被标记了就更新其子节点
Tr[d << 1].lazy = Tr[d << 1 | 1].lazy = Tr[d].lazy;
Tr[d].lazy = 0;
}
if( mid < L )update(L, R, val, d << 1 | 1); //更新右子树
else if( R <= mid )update(L, R, val, d << 1); //更新左子树
else update(L, mid, val, d << 1), update(mid + 1, R, val, d << 1 | 1);
}
线段树习题
hdoj4902 Nice boat
hdoj1698 Just a Hook
hdoj2795 Billboard
hdoj1255 覆盖的面积
poj2777 Count Color
poj3468 A Simple Problem with Integers
-
poj2528 Mayor's posters
慢慢刷吧～
Reference
《ACM/ICPC算法基础训练教程》