概率论与数理统计 | (14) 假设检验Part One

目录

1. 假设检验的基本思想

2. 单个正态总体均值的假设检验(标准差已知，Z检验)

3. 单个正态总体均值的假设检验(标准差未知，t检验)

4. 单个正态总体参数的假设检验(成对数据t检验和参数的检验)

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1. 假设检验的基本思想

• 问题提出

体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准. 专家指出, 健康成年人的BMI 取值应在18.55- 24.99 之间。

为了检验其说法是否可靠,随机抽取9位试验者 (要求BMI 指数超过25、年龄在20-25岁女生), 先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重, 然后让每位女生服用该减肥药, 服药期间, 要求每位女生保持正常的饮食习惯, 连续服用该减肥药 1周后, 再次记录各自的体重.

测得服减肥药前后的体重差值(服药前体重-服药后体重) (单位: kg):

根据目前的样本资料能否认为该减肥药广告中的宣称是可靠的?

假设检验的目的是通过收集到的数据，来验证某个想要得到的结论。过程类似于法官的审判过程。

法官的立场基于“疑罪从无”: 法官宣告被告“有罪”是需要充分的证据来推翻被告是“无罪”的假设; 而宣判“无罪”, 是由于没有充分的证据支持被告“有罪”, 并不是有充分的证据支持被告“无罪”.

• 假设检验的过程

第一步，建立两个完全对立的假设:原假设(零假设),备择假设 (对立假设) .原假设与备择假设是不对称的!决定谁是原假设，依赖于立场、惯例、方便性.

1)保护原假设.如果错误地拒绝假设A比错误地拒绝假设B带来更严重的后果——A选作原假设!

例如:假设A:新药有某种毒副作用，假设B:新药无某种 毒副作用. ——A选作原假设.  “有毒副作用”错误地当成“无毒副作用” 比“无毒副 作用”错误地当成“有毒副作用”带来的后果更严重。

2)原假设为维持现状.为解释某些现象或效果的存在性， 原假设常取为“无效果”、“无改进”、“无差异” 等，拒绝原假设表示有较强的理由支持备择假设.

3)原假设取简单假设.只有一个参数(或分布)的假设称 为简单假设.如果只有一个假设是简单假设，将其取为原假设.

参数假设的形式：

设θ是反映总体指标某方面特征的量, 是我们感兴趣的参数. 一般参数θ的假设有三种情形:

如何检验假设？

根据收集的资料，针对假设，给出检验方法，然后对假设进行判断。判断方法有两种：临界值法，P_值法。

第二步：给出检验统计量，并确定拒绝域的形式。

由于样本的随机性，任一检验规则在应用时，都有可能发生错误的判断——两类错误.

 

Neyman-Pearson原则：

第三步，根据显著水平和统计量的分布确定临界值——临界值法

第四步：根据样本得出结论。

第三’步:计算最小显著水平——P_值法

第四’步:比较P_值与显著水平，得出结论.

临界值法处理假设检验问题的基本步骤：

P_值法处理假设检验问题的基本步骤：

 

2. 单个正态总体均值的假设检验(标准差已知，Z检验)

• 例题

• 假设检验与区间估计

3. 单个正态总体均值的假设检验(标准差未知，t检验)

• 双边假设问题

• 左边假设问题

• 右边假设问题

• 计算过程

• 例题

 

4. 单个正态总体参数的假设检验(成对数据t检验和参数的检验)

• 成对数据t检验

配对研究的数据是一对一对地收集得到的, 所以也称为成对数据的研究. 由于配对研究采用了比较的思想, 比通常的单个样本推断更让人信服. 这种方法在医学和生物研究领域中广泛存在, 成对数据检验的基本思想是将两样本问题转为单样本问题.

• 参数的检验(假设未知)

• 例题