零点问题：2016年理数全国卷A题21

零点问题：2016年理数全国卷A题21

已知函数 有两个零点.

（Ⅰ）求 的取值范围;

（Ⅱ）设 是 的两个零点，证明∶ .

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【解答问题Ⅰ】

定义域为 .

(1) 若 ,

显然，只有一个零点，即

(2) 若 ,

令 , 则

∵ ,

∴

若 ,

当 , 函数 单调递增且 , 没有零点；

当 , 函数 单调递增，最多有1个零点；

若 ,

当 , 函数 单调递增且 , 没有零点；

当 , 函数 单调递减， , 没有零点；

当 , 函数 单调递增，最多有1个零点；

同理可证：若 , 只有1个零点；

当 , 函数 单调递增且 , 没有零点；

当 , 函数 单调递减， , 没有零点；

当 , 函数 单调递增，最多有1个零点；

所以， 不符合要求；

(3) 若 ,

当 , 函数 单调递减；

当 , 函数 单调递增；

当 ,

函数 的开口向上，所以，存在 , 当 时，, 从而

所以，在 区间，存在 的1个零点；

当 , 所以，在 区间存在 的1个零点；

综上所述， 的取值范围为

【解答问题Ⅱ】

根据前节推导的结论，不妨设 , .

因为 是 的零点，所以