zoj 1081 (改进的弧长算法)

  看到网上除了射线法，很长一段代码之外，看到了一个很简单的算法解决这个问题，特意转了过来

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 这个算法是源自《计算机图形学基础教程》（孙家广，清华大学出版社），在该书 

的48-49页，名字可称为"改进的弧长法"。该算法只需O(1)的附加空间，时间复杂度为O 

(n)，但系数很小；最大的优点是具有很高的精度，只需做乘法和减法，若针对整数坐标则 

完全没有精度问题。而且实现起来也非常简单，比转角法和射线法都要好写且不易出错。 





      首先从该收中摘抄一段弧长法的介绍："弧长法要求多边形是有向多边形，一般规 

定沿多边形的正向，边的左侧为多边形的内侧域。以被测点为圆心作单位圆，将全部有向 

边向单位圆作径向投影，并计算其中单位圆上弧长的代数和。若代数和为0，则点在多边形 

外部；若代数和为2π则点在多边形内部；若代数和为π，则点在多边形上。" 



      按书上的这个介绍，其实弧长法就是转角法。但它的改进方法比较厉害：将坐标原 

点平移到被测点P，这个新坐标系将平面划分为4个象限，对每个多边形顶点P，只考虑 

其所在的象限，然后按邻接顺序访问多边形的各个顶点P，分析P和P[i+1]，有下列 

三种情况： 

    （1）P[i+1]在P的下一象限。此时弧长和加π/2； 

    （2）P[i+1]在P的上一象限。此时弧长和减π/2； 

    （3）P[i+1]在Pi的相对象限。首先计算f=y[i+1]*x-x[i+1]*y（叉积），若f= 

0，则点在多边形上；若f<0，弧长和减π；若f>0，弧长和加π。 



      最后对算出的代数和和上述的情况一样判断即可。 



      实现的时候还有两点要注意，第一个是若P的某个坐标为0时，一律当正号处理； 

第二点是若被测点和多边形的顶点重合时要特殊处理。     



      以上就是书上讲解的内容，其实还存在一个问题。那就是当多边形的某条边在坐标 

轴上而且两个顶点分别在原点的两侧时会出错。如边(3,0)-(-3,0)，按以上的处理，象限 

分别是第一和第二，这样会使代数和加π/2，有可能导致最后结果是被测点在多边形外。 

而实际上被测点是在多边形上（该边穿过该点）。 

      对于这点，我的处理办法是：每次算P和P[i+1]时，就计算叉积和点积，判断该 

点是否在该边上，是则判断结束，否则继续上述过程。这样牺牲了时间，但保证了正确性 

。 

      具体实现的时候，由于只需知道当前点和上一点的象限位置，所以附加空间只需O( 

1)。实现的时候可以把上述的"π/2"改成1，"π"改成2，这样便可以完全使用整数进 

行计算。不必考虑顶点的顺序，逆时针和顺时针都可以处理，只是最后的代数和符号不同 

而已。整个算法编写起来非常容易。 



*/

#include <stdio.h> 

#include <math.h> 

const int MAX = 101 ; 

struct point 

{ 

    int x , y ;

} p[MAX] ; 

int main() 

{ 

    int n , m , i , sum , t1 , t2 , f , prob = 0 ; 

    point t ; 

    while (scanf("%d",&n),n) 

    { 

        if(prob ++) 

            printf ("\n"); 

          printf ("Problem %d:\n",prob) ; 

        scanf ("%d" ,&m) ; 

        for (i = 0; i < n;i++) 

            scanf ("%d%d",&p[i].x,&p[i].y) ; 

        p[n] = p[0] ; 

        while(m--) 

        { 

                scanf ("%d%d",&t.x,&t.y); 

                for (i=0;i<=n;i++)

                    p[i].x -=t.x,p[i].y -= t.y ;                                        // 坐标平移，将被测点设置为坐标原点  

                t1 = p[0].x>=0 ? ( p[0].y>=0?0:3 ) : ( p[0].y>=0?1:2 ) ;                 // 计算象限 

                for (sum = 0,i =1;i <= n;i ++ ) 

                { 

                    if ( !p[i].x && !p[i].y ) break ;                                     // 被测点为多边形顶点 

                       f = p[i].y * p[i-1].x - p[i].x * p[i-1].y ;                         // 计算叉积 

                    if ( !f && p[i-1].x*p[i].x <= 0 && p[i-1].y*p[i].y <= 0 ) break ;   // 点在边上 

                    t2 = p[i].x>=0  ? ( p[i].y>=0 ?0:3 ) : ( p[i].y>=0?1:2 ) ;             // 计算象限 

                    if ( t2 == ( t1 + 1 ) % 4 )      sum += 1 ;                          // 情况1 

                    else if ( t2 == ( t1 + 3 ) % 4 ) sum -= 1 ;                          // 情况2 

                    else if ( t2 == ( t1 + 2 ) % 4 )                                     // 情况3 

                          if ( f > 0 )                sum += 2 ; 

                          else                          sum -= 2 ;

                    t1 = t2 ; 

                } 

                if ( i<=n || sum ) printf( "Within\n" ) ; 

                else               printf( "Outside\n" ) ; 

                for ( i = 0 ; i <= n ; i ++ ) 

                    p[i].x += t.x , p[i].y += t.y ;             // 恢复坐标 

        } 

    } 

        return 0; 

}