矩阵代数与MATLAB实现(特征值、广义特征值、)

矩阵代数的相关知识

目录

一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

2、MATLAB计算

二、广义特征值与广义特征向量

1、广义特征值与广义特征向量

2、MATLAB计算

三、酋矩阵

1、酋矩阵

2、MATLAB计算

四、矩阵的奇异值分解

1、奇异值

2、MATLAB计算

五、托普利兹矩阵(Toeplitz)

1、托普利兹矩阵

2、MATLAB计算

六、汉克尔矩阵(Hankel)

1、汉克尔矩阵

2、MATLAB计算

七、范德蒙矩阵(Vandermonde)

1、范德蒙矩阵

2、MATLAB计算

八、未完待续

总结

---

提示：以下是本篇文章正文内容，写文章实属不易，希望能帮助到各位，转载请附上链接。

一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

令,若标量和非零向量满足方程

则称是矩阵的特征值，是与对应的特征向量。特征值可能为零，但特征向量一定非零。特征值与特征向量总是成对出现，称为矩阵的特征对。

2、MATLAB计算

%% 特征值与特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
[V,D]=eig(A) %V的每一列是特征向量，D的对角元素是特征值
A*V(:,1)
-1*V(:,1)

二、广义特征值与广义特征向量

1、广义特征值与广义特征向量

令,若标量和非零向量满足方程

则称是矩阵相对于矩阵的广义特征值，是与对应的广义特征向量。特别的，当矩阵为单位阵时，就成了普通的特征值问题。

2、MATLAB计算

%% 广义特征值与广义特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
B=[2 -1 1;0 3 -1;2 1 3];
[V,D]=eig(A,B) %V的每一列是广义特征向量，D的对角元素是广义特征值
A*V(:,1)
-1.3011*B*V(:,1)

三、酋矩阵

1、酋矩阵

若,如果，其中'H'表示共轭转置，表示单位矩阵，则称矩阵为酋矩阵。  对于酋矩阵，。

2、MATLAB计算

%% 酋矩阵验证
A=[(-1-1i)/2 (-1-1i)/2;(1+1i)/2 (-1-1i)/2]
inv_A=inv(A)
A*A'

四、矩阵的奇异值分解

1、奇异值

对于复矩阵，称的n个特征根的算术根为它的奇异值。记矩阵的奇异值矩阵为

其中，是矩阵的全部非零奇异值。

奇异值分解定理：对于维矩阵，分别存在一个维酋矩阵和一个维酋矩阵，使得

2、MATLAB计算

%% 矩阵奇异值分解验证
A=[2+i 1-i 2+i;2-i 3+i 2+i]
[U S V]=svd(A) %计算矩阵A的奇异值矩阵S和两个酋矩阵U和V
U*S*V'   %验证分解是否正确
U*U'     %验证U是否为酋矩阵
V*V'     %验证V是否为酋矩阵

五、托普利兹矩阵(Toeplitz)

1、托普利兹矩阵

定义：由个元素构成的n阶矩阵

称为Toeplitz矩阵，简称为T矩阵。

例如，当n=4时，由这7个元素构成的4阶矩阵为

T矩阵也可简记为

其中，。T矩阵完全由第一行和第一列的2n-1个元素确定。可见，T矩阵中位于任意一条平行于主对角线的元素全都是相等的，且关于副对角线对称。

2、MATLAB计算

%% 创建一个托普利兹矩阵
n=[1 2 3 4]; 
A=toeplitz(n)  %用向量n创建一个对称T矩阵
m=[1 5 6 7];
B=toeplitz(m,n) %用向量n和m创建一个对称T矩阵，注意n和m的第一个元素要相同

六、汉克尔矩阵(Hankel)

1、汉克尔矩阵

定义：具有如下形式的n+1阶矩阵

称为Hankel矩阵。可见，Hankel矩阵完全由其第1行和第n+1列的2n+1个元素确定。其中，所有垂直于主对角的直线上有相等的元素。

2、MATLAB计算

%% 创建一个汉克尔矩阵
n=[4 3 2 1]; 
A=hankel(n)  %用向量n创建一个汉克尔矩阵，第1列元素为n，反三角以下元素为0
m=[5 6 7 4];
B=hankel(m,n) %用向量n和m创建一个汉克尔矩阵，注意m的第一个元素和n的最后一个元素要相同

七、范德蒙矩阵(Vandermonde)

1、范德蒙矩阵

定义：具有如下形式的n×n阶矩阵

称为范德蒙矩阵，如果，那么V是非奇异（可逆）的。

2、MATLAB计算

%% 创建一个范德蒙矩阵
n=[1 2 3 4 5]; 
A=vander(n)  %用向量n创建一个范德蒙方阵
B=rot90(A)   %逆时针旋转90°,标准化范德蒙方阵

八、未完待续

---

总结

以上就是要讲的内容，本文介绍了矩阵代数的相关知识及其MATLAB的计算，希望对大家有所帮助。