深度学习｜交叉熵

什么是交叉熵

熵是用来衡量一个系统的混乱程度，混乱程度也其实代表着整个系统内部的不确定性。
信息量并不是指任意一种信息的量，它是指有助于减少系统内部不确定性的信息的量的大小。
也就是说信息量越大，系统混乱程度越小，熵也就越小。
而接下来的问题是怎么去衡量信息量的大小。
或者换种想法，这个衡量是用什么体系，用什么标准下去衡量（比如说人的生命在法律体系中是无价的，但在资本市场中，人的生命可以转化为劳动力商品，用工资进行结算）

如何构造信息量的函数

如果知道了阿根廷进了决赛且阿根廷赢了决赛，那么就可以知道阿根廷夺冠这件事情。其实也相当于说这两件事情是等价的。
如果将知道这件事情，看成是知道了这件事情背后的信息的话。
那么不妨假设有一个抽象函数f(某件事情)=对应的信息量。
于是有$f(AB)=f(A)+f(B)$
而对数函数具有相同的性质$lnAB=lnA+lnB$
所以可以尝试用对数函数去拟合f函数。
所以不妨设$f(x)=C_{1}lo{g}_{C_2}x$

关于$C_1$参数的选择

f(x)中的x可以对应上x这种情况发生的概率，如果这个x越具体，信息量就越大，越多的限制条件，发生的概率将会越小。
也就是说f(x)要满足随着x的减小，反而有所增大。
所以C1为负数。

关于$C_2$参数的选择

可以以e为底，也可以以2为底，其中以2为底的好处是，可以和计算机贴贴。（计算机底层是用二进制进行计算的，若采用2进制，和计算机会更加兼容）。
比如说一共有4位数据（16种可能），其中0101就可以唯一表示/确定出第5种可能。
（位数越多，说明情况越多，在从不确定的处境进入到确定的处境的过程越发艰难）

一个系统的熵

比如中国队和法国队打比赛，中国队要赢球的概率非常小，只有1%。也就是说赢起来艰难，赢的条件复杂，需要xx恰好跑位到xx位置，xx之前有认真训练，xx是真材实料的等等条件同时成立，也就是说为了达到1%的成功的确定，需要有很多的信息量。相对法国队赢球来说，中国队赢球的信息量会大很多。
但这是单看单个个体而言的。对于整个系统而言，要考虑单个个体的发生的概率，所以单个个体对整个系统的信息量的贡献为概率乘上对应的信息量。

如何比较两个系统的熵

最简单粗暴的想法是直接计算出两个系统的熵。但这是有问题的，不同模型/系统可能不同的评判标准，对同一件事情的信息量衡量出来的结果可能有所不同。
进而需要对这个熵，进行适当的修改——相对熵/KL散度

$D_{KL}(P||Q)$,其中P在Q的前面，代表以P作为基准，去衡量Q的差异。其中P和Q对应两套不同的概率模型。

按等式的直观感受$D_{KL}(P||Q)$相当于是将Q调整为P的各种情况下信息量之差的和。
由于f在前面已经有公式，所以可以进一步进行展开。

由于吉布斯不等式的存在，散度必然是大于0的。

交叉熵在神经网络中的应用

所以应用就是要找到其对应关系。
比如说$p_i,q_i,m$分别对应神经网络中的什么？

在神经网络中，可以用标签来代表$p_i$（该情况出现的可能），用模型预测为猫的概率为$q_i$，而m是要处理的图像的总量。

参考

王木头讲科学