Codeforces Round 916 (Div. 3) G2. Light Bulbs (Hard Version)（思维题 随机化哈希）

题目

2n(2<=n<=2e5)个灯泡，

灯泡分n种，每种颜色恰有两个，灯泡颜色用1到i表示

你可以执行以下两种操作若干次：

1. 选择两个同色的灯泡i、j，如果一个亮，但是另一个不亮，就把另一个点亮

2. 选择三个不同位置的灯泡i,j,k(i

你初始时，可以手动点亮若干个灯泡，

求初始时最少手动点亮灯泡的个数，以及满足个数等于最少灯泡数时选择灯泡的方案数，

使得后续通过以上两种操作，可以将所有灯泡都点亮

答案对998244353取模

实际t(t<=1e4)组样例，但保证sumn不超过2e5

思路来源

jiangly代码

题解

手玩不难发现，对于一个区间，

如果完整包含另一个区间，1 2 2 1，则内层灯泡无需初始点亮

即区间包含内层区间无需点亮，区间相交时，点亮两个区间任意一个都可以

1 2 3 3 5 1 2 5 6 7 7 6，

对于这种情况，显然是1、2、5三个灯泡中选一个，然后6这个灯泡必取

也就是说，整个2n长度的区间，

首先可以看成是最少个不相交的区间

满足每个区间内所有灯泡都出现两次，称每个这样的区间是一个闭区间

其中1 2 3 3 5 1 2 5是一个区间，6 7 7 6这个是一个区间

这个可以通过随机化哈希的方式实现，为每个颜色random一个哈希值，求前缀异或，

冲突的概率很低，所以前缀异或和为0的位置即认为是合法的分界位置

第一问就解决了，即前缀哈希值为0的个数

考虑第二问，对于形如1 2 3 3 5 1 2 5这样的区间，

希望先1跳到2，2再跳到5，5跳到1跳到2跳到5，

也就是跳跃过程中，忽略不会出现在最小个数的数，

其他位置的值则由于区间相交，则对方案数都有贡献，

最后125的这6个位置任取一个就能覆盖全部

观察跳跃过程，实际每次是跳跃到前缀异或值的最后一个位置，

每个前缀异或值，要么出现一次，要么中间包含了若干闭区间

导致这样的异或值是可以出现两次的，

那么对于出现两次的位置，肯定是选择忽略到中间异或和为0的这一段

所以每次的操作是将当前位置j，

飞到异或值相同的最后一个位置，j=las[sum[j]]，再令j++，到下一个区间相交的位置

统计每个闭区间段内有贡献的值，最后将若干个闭区间的值相乘，即为第二问方案数

代码

#include
// #include
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