[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-2(4) 质量刚体的在坐标系下运动

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
黎 旭,陈 强 洪,甄 文 强 等.惯 性 张 量 平 移 和 旋 转 复 合 变 换 的 一 般 形 式 及 其 应 用[J].工 程 数 学 学 报,2022,39(06):1005-1011.

食用方法
质量点的动量与角动量
刚体的动量与角动量——力与力矩的关系
惯性矩阵的表达与推导——在刚体运动过程中的作用
惯性矩阵在不同坐标系下的表达
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义

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对$H_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F$进一步处理可得：$H_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F={\sum }_i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot R_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left({\omega }^F\times R_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)={\sum }_i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot R_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left(-R_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\omega }^F\right)={\sum }_i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot {\tilde{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\left(-{\tilde{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\right){\omega }^F$。进而得出：$\Rightarrow \left[I\right]={\sum }_i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot {\tilde{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\left(-{\tilde{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\right)$

2.2.4 牛顿-欧拉方程 Netwon-Euler equation

刚体动力学中常用：
$$\{\begin{array}{l}{F}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F=m_{\mathrm{total}}\cdot a_{\mathrm{G}}^F\\ M_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F={\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F{\alpha }_{\mathrm{M}}^F+{\omega }_{\mathrm{M}}^F\times \left({\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{G}}^F\cdot {\omega }_{\mathrm{M}}^F\right)\end{array}$$

2.3 惯性矩阵的转换 Inertia-Matrix Transformation

对于空间中的运动刚体而言，刚体的惯性矩阵一般会根据运动坐标系$\left\{M\right\}$的基矢量为基底进行计算，而不会直接考虑运动刚体在固定坐标系$\left\{F\right\}$下的惯性矩阵。此时运动坐标系$\left\{M\right\}$下计算得出的惯性矩阵记为：${\left[I\right]}^M$。若运动坐标系$\left\{M\right\}$与固定坐标系$\left\{F\right\}$的基矢量满足： [ i ⃗ M j ⃗ M k ⃗ M ] = [ Q M F ] T [ I ^ J ^ K ^ ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^M\\ \vec{j}^M\\ \vec{k}^M\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ​i Mj ​Mk M​ ​=[QMF​]T ​I^J^K^​ ​，其中${\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}$为转换矩阵Transition Matrix，为正交矩阵Orthogonal Matrix（满足${\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^T={\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{-1}=\left[Q_{\mathrm{F}}^M\right]$），$\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]$又称旋转矩阵Rotation~Matrix
（一个向量乘以一个正交阵，相当于对这个向量进行旋转）。也揭示了该矩阵的两个作用：基底转换（转换矩阵${\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}$）与向量旋转（旋转矩阵$\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]$），则考虑最开始的图有：

$$R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F=R_{\mathrm{M}}^F+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M$$

进而分析惯性矩阵，若 $O$ 点与固定坐标系原点 $F$ 重合，则有：
$$\begin{array}{rl}{\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F& =\sum _i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)}^T{R}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\cdot E-R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)}^T\right]\\ & =\sum _i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[{\left(R_{\mathrm{M}}^F+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^{\mathrm{T}}\left(R_{\mathrm{M}}^F+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)\cdot E-\left(R_{\mathrm{M}}^F+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right){\left(R_{\mathrm{M}}^F+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^{\mathrm{T}}\right]\\ & =\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{m}_{\mathrm{total}}\cdot \left[{\left(R_{\mathrm{M}}^F\right)}^{\mathrm{T}}{R}_{\mathrm{M}}^F\cdot E-R_{\mathrm{M}}^F{\left(R_{\mathrm{M}}^F\right)}^{\mathrm{T}}\right]\\ {\left[I_1\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}+\\ \begin{array}{c}\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]\left(\sum _i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^{\mathrm{T}}{R}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\cdot E-R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^{\mathrm{T}}\right]\right){\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}+\\ {\left[I_2\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}\\ \begin{array}{c}{m}_{\mathrm{total}}\cdot \left[{\left(R_{\mathrm{M}}^F\right)}^{\mathrm{T}}\left(\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{\mathrm{CoM}}^M\right)\cdot E-R_{\mathrm{M}}^F{\left(\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{\mathrm{CoM}}^M\right)}^{\mathrm{T}}\right]\\ {\left[I_3\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}+\\ \begin{array}{c}{m}_{\mathrm{total}}\cdot \left[{\left(\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{\mathrm{CoM}}^M\right)}^T{R}_{\mathrm{M}}^F\cdot E-\left(\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{\mathrm{CoM}}^M\right){\left(R_{\mathrm{M}}^F\right)}^{\mathrm{T}}\right]\\ {\left[I_4\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}\end{array}\\ & ={\left[I_1\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F+{\left[I_2\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F+{\left[I_3\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F+{\left[I_4\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}$$

其中，${\left[I_2\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F=\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]\left({\sum }_i^N{m}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^{\mathrm{T}}{R}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\cdot E-R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^{\mathrm{T}}\right]\right){\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}=\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\left[I\right]}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^M{\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}$，对上式进行讨论：

• 纯回转： 当$R_{\mathrm{M}}^F=0$时，化简为：
  [ I ] Σ M F ∣ R ⃗ M F = 0 = [ I 2 ] Σ M F = [ Q M F ] ( ∑ i N m P i ⋅ [ ( R ⃗ P i M ) T R ⃗ P i M ⋅ E − R ⃗ P i M ( R ⃗ P i M ) T ] ) [ Q M F ] T = [ Q M F ] [ I ] Σ M M [ Q M F ] T \left. \left[ I \right] _{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{F} \right|_{\vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{M}}^{F}=0}=\left[ I_2 \right] _{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{F}=\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] \left( \sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[ \left( \vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^{\mathrm{T}}\vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}\cdot E-\vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}\left( \vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^{\mathrm{T}} \right]} \right) \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] ^{\mathrm{T}}=\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] \left[ I \right] _{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{M}\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] ^{\mathrm{T}} [I]ΣM​F​ ​R MF​=0​=[I2​]ΣM​F​=[QMF​](i∑N​mPi​​⋅[(R Pi​M​)TR Pi​M​⋅E−R Pi​M​(R Pi​M​)T])[QMF​]T=[QMF​][I]ΣM​M​[QMF​]T
• 纯移动： 当$R_{\mathrm{M}}^F\ne 0$且$\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]=E$时，化简为：
  [ I ] Σ M F ∣ R ⃗ M F ≠ 0 , [ Q M F ] = E = [ I 1 ] Σ M F + [ I ] Σ M M \left. \left[ I \right] _{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{F} \right|_{\vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{M}}^{F}\ne 0,\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] =\mathrm{E}}=\left[ I_1 \right] _{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{F}+\left[ I \right] _{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{M} [I]ΣM​F​ ​R MF​=0,[QMF​]=E​=[I1​]ΣM​F​+[I]ΣM​M​
  上式也称为惯性矩阵的平行轴定理Parallel Axis Theorem。
• 运动坐标系原点与质心点重合： 当$R_{\mathrm{CoM}}^F=0$时，化简为：
  [ I ] F ∣ R ⃗ C o M F = 0 = [ I 1 ] + [ I 2 ] \left. \left[ I \right] ^F \right|_{\vec{R}_{\mathrm{CoM}}^{F}=0}=\left[ I_1 \right] +\left[ I_2 \right] [I]F ​R CoMF​=0​=[I1​]+[I2​]

2.4 惯性矩阵的主轴定理} Principal Axis Theorem

进一步观察惯性矩阵：
[ I ] M = [ ∑ i N m P i ⋅ [ ( y P i M ) 2 + ( z P i M ) 2 ] − ∑ i N m P i ⋅ x P i M y P i M − ∑ i N m P i ⋅ ( x P i M z P i M ) − ∑ i N m P i ⋅ ( y P i M x P i M ) ∑ i N m P i ⋅ [ ( x P i M ) 2 + ( z P i M ) 2 ] − ∑ i N m P i ⋅ ( y P i M z P i M ) − ∑ i N m P i ⋅ ( z P i M x P i M ) − ∑ i N m P i ⋅ ( z P i M y P i M ) ∑ i N m P i ⋅ [ ( x P i M ) 2 + ( y P i M ) 2 ] ] \left[ I \right] ^M=\left[ \begin{matrix} \sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[ \left( y_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^2+\left( z_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^2 \right]}& -\sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot x_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}y_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}}& -\sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left( x_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}z_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right)}\\ -\sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left( y_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}x_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right)}& \sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[ \left( x_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^2+\left( z_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^2 \right]}& -\sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left( y_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}z_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right)}\\ -\sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left( z_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}x_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right)}& -\sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left( z_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M}y_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right)}& \sum_i^N{m_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}\cdot \left[ \left( x_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^2+\left( y_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{M} \right) ^2 \right]}\\ \end{matrix} \right] [I]M= ​∑iN​mPi​​⋅[(yPi​M​)2+(zPi​M​)2]−∑iN​mPi​​⋅(yPi​M​xPi​M​)−∑iN​mPi​​⋅(zPi​M​xPi​M​)​−∑iN​mPi​​⋅xPi​M​yPi​M​∑iN​mPi​​⋅[(xPi​M​)2+(zPi​M​)2]−∑iN​mPi​​⋅(zPi​M​yPi​M​)​−∑iN​mPi​​⋅(xPi​M​zPi​M​)−∑iN​mPi​​⋅(yPi​M​zPi​M​)∑iN​mPi​​⋅[(xPi​M​)2+(yPi​M​)2]​ ​，为对称矩阵Symmetric Matrix（此时默认 $M$ 点与 $F$ 点重合），则一定能够对角化。

等价于找到另一原点与 $M$ 重合的坐标系 $B$ ，使得： [ I ] B = [ I x x B 0 0 0 I y y B 0 0 0 I z z B ] \left[ I \right] ^B=\left[ \begin{matrix} I_{\mathrm{xx}}^{B}& 0& 0\\ 0& I_{\mathrm{yy}}^{B}& 0\\ 0& 0& I_{\mathrm{zz}}^{B}\\ \end{matrix} \right] [I]B= ​IxxB​00​0IyyB​0​00IzzB​​ ​，根据矩阵对角化Matrix Diagonalizing的原理，结合纯回转推导可得：
$${\left[I\right]}^M=\left[Q_{\mathrm{B}}^M\right]{\left[I\right]}^B{\left[Q_{\mathrm{B}}^M\right]}^{\mathrm{T}}$$

其中：

• $\left[Q_{\mathrm{B}}^M\right]$ 满足 [ i ⃗ B j ⃗ B k ⃗ B ] = [ Q B M ] T [ i ⃗ M j ⃗ M k ⃗ M ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{M} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^M\\ \vec{j}^M\\ \vec{k}^M\\ \end{array} \right] ​i Bj ​Bk B​ ​=[QBM​]T ​i Mj ​Mk M​ ​；
• $\left(I_{\mathrm{xx}}^B,I_{\mathrm{yy}}^B,I_{\mathrm{zz}}^B\right)$ 为矩阵 ${\left[I\right]}^M$的特征值Eigenvalue；
• $\left[Q_{\mathrm{B}}^M\right]$ 为对应于特征值矩阵 ${\left[I\right]}^B$的特征基Standard Eigenvalue Basis(列向量)；