主元素问题

问题定义

主元素(Majority Number)定义为数组中出现次数严格超过一半的数。找到这个数。要求使用O(1)的额外空间和O(n)的时间。

问题分类

1. 数组中有N个数，其中有一个数严格超过1/2，求这个数
2. 数组中有N个数，其中有两个数严格超过1/3，求这两个数
3. 数组中有N个数，只有一个数严格超过1/3，求这个数
4. 如果数组中存在且只存在一个出现次数严格超过1/k的数，找到这个数。要求使用O(k)的额外空间和O(n)的时间。
5. 使用蒙特卡洛随机算法判断主元素是否存在。

问题1：

抵消法（O(n))：

一旦发现数组中存在两个不同的数，就都删除，直到剩下的数都一样。此时剩下的数就是主元素。
原理：任意删去两个不同的数之后，在剩余子数组中，主元素依旧是主元素。随着遍历，最后剩下的数，一定是主元素（因为最多删除n/2 - 1次）
实现方式：采用一个计数器count和一个候选值tmp，计数器记录当前候选值在数组中的存在次数，若count=0则更换候选值，否则与遍历值进行比较，如果相等则计数器加1，否则减一。

code：

int majorityElement2(vector& nums) 
{
    int cnt = 1,tmp = nums[0],n = nums.size();
    for(int i=1;i

直接排序(O(nlgn)):

原理：直接对数组排序，因为主元素超过1/2，因此中位数一定是主元素。代码略。

问题二：

与问题1相似，我们仍然使用抵消法。
抵消法：当出现三个元素不同时，相互抵消。

code:

vector majorityElement(vector& nums) 
{
    vectorans;
    int n = nums.size();
    if(n<1)return ans;
    int cnt1=0,cnt2=0,tmp1=nums[0],tmp2=nums[0];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (nums[i] == tmp1)
            cnt1++;
        else if (nums[i] == tmp2)
            cnt2++;
        else if (cnt1 == 0) {
            tmp1 = nums[i];
            cnt1 = 1;
        } else if (cnt2 == 0) {
            tmp2 = nums[i];
            cnt2 = 1;
        } else {
            cnt1--;
            cnt2--;
        }
    }
    ans.push_back(tmp1);
    ans.push_back(tmp2);
    return ans;
}

问题三：

与问题二基本相同，在得到两个数之后，我们取出现次数更多的那个数。代码略

问题四：

同样使用抵消法：当出现K个不同的数，则相互抵消，最后取出现次数最大的那个数。注意：超过1/3我们使用2个候选值，则超过1/K我们使用K-1个候选值。

code(假设K=4):

int majorityElement4(vector& nums) 
{
    int n = nums.size();
    int cnt1=1,cnt2=1,cnt3=1;
    int tmp1=nums[0],tmp2=nums[0],tmp3=nums[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (nums[i] == tmp1)
            cnt1++;
        else if (nums[i] == tmp2)
            cnt2++;
        else if(nums[i]==tmp3)
            cnt3++;
        else if (cnt1 == 0) {
            tmp1 = nums[i];
            cnt1 = 1;
        } else if (cnt2 == 0) {
            tmp2 = nums[i];
            cnt2 = 1;
        }else if (cnt2 == 0) {
            tmp2 = nums[i];
            cnt2 = 1;
        }else {
            cnt1--;
            cnt2--;
            cnt3--;
        }
    }
    int count1=0,count2=0,count3=0;
    for(int i=0;i mymap;
    mymap.insert(pair(count1, tmp1));
    mymap.insert(pair(count2, tmp2));
    mymap.insert(pair(count3, tmp3));
    map::iterator  iter = mymap.find(c);
    return iter->second;
}

问题五：

判断主元素是否存在实际上可以使用随机算法，这里我们使用的是蒙特卡洛随机算法。
蒙特卡洛算法能够返回一个准确值，但是没有办法判断它正确与否，因此采用增加抽样次数的方式，来降低错误率，使得返回错误值的概率降至可见小。设p是一个实数，且1/2 在本实例中，主元素出现的次数超过n/2，因此我们随意在数组中随机抽样（随机抽取一个数），如果主元素存在则抽到主元素的概率大于1/2，这就构成了蒙特卡洛优势。当我们随机抽样次数增加以后，判断失误的概率就会变得越来越小。

code

bool MajorityMC(vector& nums, double p)
{
    int k = ceil(log(1/p) / log((float)2));
    for(int i=1; i<=k; i++){
        if(Majority(nums))
            return true
    }
    return false;
}

bool Majority(nums){
    srand((unsigned)time(NULL));
    int n = nums.size();
    int i = rand()%n;    //[0,n)
    int x = nums[i];
    int acount = 0;
    for(int j=0; jn/2);
}

注意：有K次判断的机会，最后判断错误的概率小于p。(p是我们提供的可以接收的错误概率）
算法majorityMC所需的计算时间显然是O(nlog(1/p))。

总结

在常见主元素问题中，我们主要使用的是抵消法，抵消法的实质其实是找到数组中出现次数最多的一个数。在判断主元素是否存在时，使用了随机算法，随机算法我们将会单独再次讲述。