创作不易记得投币哦,视频链接:陶哲轩工作流-人工智能数学验证+定理发明工具LEAN4 [经典数学篇1]从零开始证明3次方程的求根公式的充要条件(下)_哔哩哔哩_bilibili
import Mathlib.Tactic.LinearCombination
import Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Roots
import Mathlib.Data.Polynomial.Eval
import Mathlib.Data.Real.Sqrt
-- 这集的终极目标:是证明一般3次方程的求根公式的充分必要条件。
-- 也就是,除了验证3个解的合理性以外
-- ,还会给出刚好能推出3个根的过程证明。
-- 又涉及到了很有趣的关于对称的现象
namespace testroot3
section Field
open Polynomial
variable {K : Type*} [Field K]
variable [Invertible (2 : K)] [Invertible (3 : K)] --实际的例子可以是一个二维平面上的线性变换,比如逆时针旋转或者放大缩小。在三维空间中,可以是一个三维物体的旋转变换,比如围绕某个轴的旋转。这些都可以用矩阵来表示,并且这些矩阵都是可逆的,因为它们可以被逆转回原始状态。
-- ???好像不是这样定义的,就是纯粹的K集合上的2,3元素有逆
variable (a b c d : K)
variable {ω p q r s t : K}
-- 1.IsPrimitiveRoot ω k:就是k-单位根,即
-- (ω ^ k = 1)
-- ∧ (∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 → k ∣ l) 这样定义的合理性在哪呢?下面会讲:
-- 2.hω.isRoot_cyclotomic
-- 2.1.cyclotomic n R:n-分圆多项式,z^n=1,(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn),系数在R集合里,即 为什么是n个单位根呢?下面会讲:
-- 2.1.1.为什么:复数单位根是z = e^((i2πk) / n) (k=1,2,3...n) 为什么?为什么所有都可以表示呢?
-- 复数单位根z = e^((2πik) / n)的形式可以通过欧拉公式推导得出。
-- 欧拉公式是一个重要的数学公式,它描述了复指数函数和三角函数之间的关系。欧拉公式的表达式为:
-- e^(ix) = cos(x) + isin(x)
-- e^(iπ) = cos(π) + isin(π) = -1 , e^(i2π) = 1
-- 其中,e是自然对数的底数,i是虚数单位,x是实数。这个公式将指数函数和三角函数联系在一起。
-- 现在我们考虑复数单位根,即满足zⁿ = 1的复数。假设z可以表示为
-- z = Ce^(iθ),C是实数,可以表示的原因是:z是一个任意的复数(Ccos(θ) + iCsin(θ)) =C(cos(θ) + isin(θ))=Ce^(iθ)
-- z = Ce^(iθ)
-- ,其中θ是实数。我们希望找到满足zⁿ = 1,即zⁿ =(C^n)e^(iθn)=1中θ的取值,此时n和i已固定。
-- zⁿ = (Ce^(iθ))^n =(C^n)*e^(iθn)=1
-- 应用指数函数的幂运算法则,我们可以将上述方程改写为:
-- (C^n)*e^(iθn)=1
-- 根据欧拉公式,左侧的e^(inθ)可以表示为:
-- e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) = 1 = e^(i2π) = cos(2π) + isin(2π) = 1 + i * 0
-- 左边整体就是:(C^n) (cos(nθ) + i sin(nθ)) = (C^n)*cos(nθ) + i(C^n)sin(nθ) = 1 = 1 + i * 0
-- 由于右侧等于1,由于实数部分和复数部分分别对应相同,我们可以得到两个等式:
-- (C^n)*cos(nθ) = 1
-- (C^n)sin(nθ) = 0
-- z = Ce^(iθ)
-- 原来的问题是求zⁿ=1的根,问题变成了要找出所有满足条件的C θ,代入到z = Ce^(iθ),这个就是根的一般形式了
-- (C^n)*cos(nθ) = 1
-- (C^n)sin(nθ) = 0 -- (C^n)=0, C=0 , 不可能的。
-- n分为奇数,偶数讨论:
-- n为奇数
-- nθ = kπ , (C^n) = 1/cos(kπ)
-- 所有满足的θ可以表示为θ = (πk) / n,我们就得到了复数单位根的表达式:
-- z 定义= Ce^(iθ) =Ce^(iπk/n)
-- k=奇数,C^n=-1,C=-1,-1*e^(iπk/n)
-- k=偶数,C^n=1,C=1,1*e^(iπk/n)
-- 由欧拉公式知道+1,-1的e表示:
-- -1 = e^(iπ3/3) = e^(iπn/n) 由于 e^(ix) = cos(x) + isin(x)
-- 继续改写:
-- k=奇数,C^n=-1,C=-1,-1*e^(iπk/n)= e^(iπn/n) * e^(iπk/n) = e^(iπ(k+n)/n)
-- k=偶数,C^n=1,C=1,1*e^(iπk/n) = e^(iπk/n)
-- n为偶数
-- nθ = kπ 不行的,因为代入第一行后:(C^n) = 1/cos(kπ), k是奇数时,(C^n) = -1 ,C为实数没有虚部,不可能成立的。
-- nθ = 2kπ 才行
-- nθ = 2kπ, (C^n)*cos(2kπ) = (C^n) *1=1 所以 (C^n) = 1,C为实数没有虚部, 所以C=1,-1
-- C=1的情况 z = Ce^(iθ) = 1*e^(i2kπ/n)=(cos(2kπ/n) + i*sin(2kπ/n)) k=1,2,3,4...
-- C=-1的情况 z = Ce^(iθ) = (-1)*e^(i2kπ/n) k=1,2,3,4...
-- 考虑(-1)*e^(i2kπ/n)的情况:(-1)*e^(i2kπ/n) = (-1*cos(2kπ/n) + i*-1*sin(2kπ/n))可以看到偶数情况下是对称的点。
-- cos(θ) + i*sin(θ)
-- 举例: n=4
-- 抽象过程除了iπ外的部分: (2*1/4) (2*2/4) (2*3/4) (2*4/4) (2*5/4)=[2/4]
-- 也是可以合并成e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...
-- 由欧拉公式知道+1,-1的e表示:
-- -1 = e^(iπ3/3)
-- 1 = e^(iπ6/3)
-- n是奇数的情况也可以合并成e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...的:
-- k=奇数,C^n=-1,C=-1,-1*e^(iπk/n)= e^(iπn/n) * e^(iπk/n) = e^(iπ(k+n)/n)
-- k=偶数,C^n=1,C=1,1*e^(iπk/n) = e^(iπk/n)
-- n=3 , 每次分子+2,就是2,4,6的重复
-- 抽象过程除了iπ外的部分: (1+3)/3=4/3 (3+3)/3=6/3 (5+3)/3=8/3 = [2/3] [4/3]
-- 2/3 [4/3] [6/3] [8/3]=[2/3]
-- 所以人们就从这个规律重写了一遍公式,和并起来了,写成e^(iπ(2k₂)/n) , k₂=1,2,3,4.....
-- ???视频 n=5,6的情况讲解一下
-- z = e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...
-- e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
-- 以n=3举例
-- 这里证明一个定理两边多项式相等x^3 - 1 = (x-e^(i(2π) / 3))*(x-e^(i(2*2π) / 3))* (x-e^(i(3*2π) / 3))=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
--
-- 右边= (x-e^(i(1*2π) / 3))*(x-e^(i(2*2π) / 3))* (x-e^(i(3*2π) / 3))
-- 分配律= x^3 - e^(i(2π) / 3)*e^(i(2*2π) / 3)*e^(i(3*2π) / 3) + ...
-- e^(i(2π) / 3)*e^(i(2*2π) / 3)*e^(i(3*2π) / 3) = e^(i(4π)
--抽象写法= x^3 - 1 + x*((2+3)+(1+3)+(1+2)) + x^2*(-1)(3+2+1)
-- = x^3 - 1 + x * (cos(5* 2π/3)+cos(4* 2π/3)+ cos(3* 2π/3) + i sin(5* 2π/3) + i sin(4* 2π/3) + i sin(3* 2π/3)) +
-- x^2* (-1)(cos(3* 2π/3)+cos(2* 2π/3)+cos(1* 2π/3) + i sin(3* 2π/3 + i sin(2* 2π/3)+i sin(1* 2π/3))
-- 关于x轴对称的一对对,对称的奇妙之处,后面讲一下???n=5的情况
-- todo???后面单独讲:我们试一下n=4,x^4 - 1 = (x-e^(i(1*2π) / 4))*(x-e^(i(2*2π) / 4))* (x-e^(i(3*2π) / 4)) * (x-e^(i(4*2π) / 4))
-- x^4 - 1(这个1只要π的整数倍即得1,不需要2π得整数倍)
-- 抽象写法 x^1* ((2+3+4)+(1+3+4)+(1+2+4)+(1+2+3))
-- 后面讲一下???n=6的情况
-- z = e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...
-- 验证一下是否满足:(ω ^ m = 1) ∧ (∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 → m ∣ l)
-- 此时m=3,
-- 验证ω=x1,即ω=e^(i(2π) / 3)=cos(2π/3) + i*sin(2π/3) 是否满足,∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 ,只有l是m=3的倍数时成立?
-- 我们尝试l=1,2,3则不用尝试代入就知道结果为1,4即1,5即2,6即3所以结果也是1,后面都是循环的,所以实际上只需要验证l=1,2
-- l=1,2是否满足ω ^ l = 1 呢?我们要证明它不满足,因为e^(i(2π1) / 3) 、 e^(i(2π2) / 3) 都不是 e^(i2πk) 这个2π的整数倍,所以不等于1
-- 验证ω=x2,即ω=e^(i(4π) / 3)=cos(4π/3) + i*sin(2π/3) 是否满足,∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 ,只有l是m=3的倍数时成立
-- 我们尝试l=1,2,3不用尝试代入知道是2π的整数倍,所以就变成了验证次数,i后面的项是否2π的整数倍。
-- l=1,2代入可知e^(i(4π) *1/ 3) 、 e^(i(4π)*2 / 3), 都无法和分母3约掉,即不是整数倍,所以不等于1
-- 验证ω=x3,即ω=e^(i(6π) / 3) = e^(i(2π))=1, 这个却是不满足:(ω ^ m = 1) ∧ (∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 → m ∣ l)的,因为l是1,2也满足。
-- 所以在lean里面定义的IsPrimitiveRoot ω k这个根呢,是去掉1的。
-- 这就是复数单位根的一般形式。它表示了复数单位根与欧拉公式之间的关系,其中k是整数,
-- 满足0 ≤ k < n。这个形式允许我们通过指数函数来表示复数单位根,从而方便地进行计算和处理。
-- 2.1.2.为什么:复数单位根是圆周上均匀分布的n个点
-- 由于根形式是z = e^(iθ) = e^((i2πk) / n) 根据欧拉公式e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)变成
-- 这里θ即(2πk) / n, 所以就是 (360度/n)* 1,2,3,4......,
-- 也就是z = e^(iθ) = e^((2πik) / n) = cos((2πk) / n) + i sin((2πk) / n) 表示成二维的数就知道
-- 2.2.IsRoot p x:就是x代入p的值为0,即p的根
-- 3.cyclotomic_prime p R:是一个多项式, p是素数, cyclotomic p R = ∑ i in range p, X ^ i
-- 即: p分圆多项式=多项式(∑ i in range p, X ^ i),(X是多项式变量)
-- 4. Finset.sum_range_succ : 求和n+1项=求和n项 +(第n+1项)
-- theorem cube_root_of_unity_sum (hω : IsPrimitiveRoot ω 3) : 1 + ω + ω ^ 2 = 0 := by
-- 为什么可以这样定义k-单位根的第二个属性:∀ l : ℕ, ζ ^ l = 1 → k ∣ l ? 举例说明就知道了
-- have h1:= hω.isRoot_cyclotomic (by decide)
-- simpa [cyclotomic_prime, Finset.sum_range_succ] using h1
-- #print cube_root_of_unity_sum
theorem cube_root_of_unity_sum2
(hω : IsPrimitiveRoot ω 3)
: 1 + ω + ω ^ 2 = 0
:= by
let h1 : IsRoot (cyclotomic 3 K) ω -- cyclotomic 3 K代表的是 (x-x1)(x-x2)(x-x3)
:= by
refine' IsPrimitiveRoot.isRoot_cyclotomic _ _
-- 我们就不点进去看了,只感性的证明:
· exact Nat.succ_pos 2
· exact hω
-- ω ^ 3 = 1
-- 现实中已知x^3 - 1 = (x-e^(i(2π) / 3))*(x-e^(i(2*2π) / 3))* (x-e^(i(3*2π) / 3))
-- 举例:ω = e^(i(2π) / 3) -- e^(i(2*2π) / 3)
-- 即x^3 - 1 = (x-ω)(x-ω^2)(x-ω^3) --???为什么这么巧呢?任意一个k-单位根,都可以自乘生成所有的复数根
-- 两边除以(x-1),得到(x-ω)(x-ω^2) = 1 + x + x^2
-- 得出 (x-ω)(x-ω^2)的根 = 1 + x + x^2的根
-- 也就是ω,ω^2= 1 + x + x^2的根
-- 也就是ω,ω^2,1这三个数= (1 + x + x^2)(x-1)的根 = x^3 - 1的根 = (x-e^(i(2π) / 3))*(x-e^(i(2*2π) / 3))* (x-e^(i(3*2π) / 3))的根= 分圆多项式的根
done
-- exact IsPrimitiveRoot.isRoot_cyclotomic (@of_decide_eq_true (0 < 3) (Nat.decLt 0 3) (Eq.refl true)) hω
have h2 : IsRoot (cyclotomic 3 K) = IsRoot (1 + X + X ^ 2)
:= by
rw [cyclotomic_prime]--看成定义
refine' congrArg _ _
rw [Finset.sum_range_succ]
rw [Finset.sum_range_succ]
rw [Finset.sum_range_succ]
simp only [Finset.range_zero]
simp only [Finset.sum_empty]
simp only [pow_zero]
simp only [zero_add]
simp only [pow_one]
done
have h3 : (eval ω (1 + X + X ^ 2)=0) = (1 + ω + ω ^ 2 = 0) -- ???eval x p是: x代入多项式p的值
:= by
simp only [eval_add, eval_one, eval_X, eval_pow] --大概就是代入的过程
rw [← h3]
simp only [eval_add, eval_one, eval_X, eval_pow]
have h4 :IsRoot (cyclotomic 3 K) ω = IsRoot (1 + X + X ^ 2) ω
:= by
exact congrFun h2 ω
have h5 : IsRoot (1 + X + X ^ 2) ω = (eval ω (1 + X + X ^ 2) = 0)
:= by
simp only [IsRoot.def, eval_add, eval_one, eval_X, eval_pow]
clear h2
have h6:= h4.trans h5
clear h4 h5
have h7:= h6.trans h3
clear h6 h3
rw [h7] at h1
exact h1
done
/-- 去掉二次方项的形式 -/
theorem cubic_basic_eq_zero_iff2
(hω : IsPrimitiveRoot ω 3) -- p q可以任意取
(hp_nonzero : p ≠ 0)
(hr : r ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 3) -- r 从p和q定义出来
(hs3 : s ^ 3 = q + r) -- s 从q和r定义出来
(ht : t * s = p) -- t 从s和p定义出来
(x : K) :
(x ^ 3 + 3 * p * x - 2 * q = 0)
↔
(x = s - t
∨
x = s * ω - t * ω ^ 2
∨
x = s * ω ^ 2 - t * ω)
:= by
have h₁ : ∀ x a₁ a₂ a₃ : K,
x = a₁ ∨ x = a₂ ∨ x = a₃
↔
(x - a₁) * (x - a₂) * (x - a₃) = 0
:= by
intros
simp only [mul_eq_zero]
simp only [sub_eq_zero]
simp only [or_assoc]
rw [h₁]
clear h₁
refine' Eq.congr _ rfl
have hs_nonzero : s ≠ 0
:= by
contrapose! hp_nonzero with hs_nonzero --contrapose! 是逆否命题 非A→ 非B 换句话说 B→ A
linear_combination -1 * ht + t * hs_nonzero -- linear_combination:多个等式,等号左右分别相加
rw [← mul_left_inj' (pow_ne_zero 3 hs_nonzero)] -- 为什么要变复杂呢?
have H := cube_root_of_unity_sum2 hω
clear hω -- 是好习惯吗?清掉用过的条件
-- 下面会构造几个线性组合的等式,简称lc
have lc1: (-q + r + s ^ 3) * s ^ 3
= (-q + r + s ^ 3) * (q + r)
:= by
simp only [mul_eq_mul_left_iff]
have lc1_1 := congrArg (HMul.hMul (-q + r + s ^ 3)) hs3
exact mul_eq_mul_left_iff.1 (lc1_1)
have lc2: (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2) * (t * s)
= (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2) * p
:= by
simp only [mul_eq_mul_left_iff]
have lc2_1 := (congrArg (HMul.hMul (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2)) ht)
exact mul_eq_mul_left_iff.mp lc2_1
have lc3:
(
x ^ 2 * (s - t) + x * (-ω * (s ^ 2 + t ^ 2) + s * t * (3 + ω ^ 2 - ω)) -
(-(s ^ 3 - t ^ 3) * (ω - 1) + s ^ 2 * t * ω ^ 2 - s * t ^ 2 * ω ^ 2)
)
*
(s ^ 3)
*
(1 + ω + ω ^ 2)
=
(x ^ 2 * (s - t) + x * (-ω * (s ^ 2 + t ^ 2) + s * t * (3 + ω ^ 2 - ω)) -
(-(s ^ 3 - t ^ 3) * (ω - 1) + s ^ 2 * t * ω ^ 2 - s * t ^ 2 * ω ^ 2)
)
*
s ^ 3
*
0
:= by
simp only [neg_mul]
simp only [mul_zero]
simp only [mul_eq_zero]
-- simp only [pow_eq_zero_iff]
exact Or.inr H
-- clear hs3 ht hs_nonzero H
-- 很神奇的变参数防近视过程
-- set s_3:= s ^ 3
-- set x_3:= x ^ 3
-- set px:= p * x
-- set x3:= ω ^ 2
-- set x4:= s ^ 2 + t ^ 2
-- set x5:= 3 + x3 - ω
-- set x6:= (-ω * x4 + s * t * x5)
-- set x7:= x ^ 2 * (s - t)
-- set x8:= 3 * x * x1
linear_combination --???这里抽一集具体算一下为什么等式左右成立,以及为何要这样拆。
hr +
lc1 -
lc2 +
lc3
-- linear_combination -- 原始写法
-- hr + (-q + r + s ^ 3) * hs3 - (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2) * ht +
-- (x ^ 2 * (s - t) + x * (-ω * (s ^ 2 + t ^ 2) + s * t * (3 + ω ^ 2 - ω)) -
-- (-(s ^ 3 - t ^ 3) * (ω - 1) + s ^ 2 * t * ω ^ 2 - s * t ^ 2 * ω ^ 2)) * s ^ 3 * H
done
/-- 三次方项系数为1的形式 -/
theorem cubic_monic_eq_zero_iff2
(hω : IsPrimitiveRoot ω 3) --b c任意取
(hp : p = (3 * c - b ^ 2) / 9) -- p 从b和c定义出来
(hp_nonzero : p ≠ 0) -- p有一个限制条件
(hq : q = (9 * b * c - 2 * b ^ 3 - 27 * d) / 54) -- q 从b和c和d定义出来
(hr : r ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 3) -- r 从q和p定义出来
(hs3 : s ^ 3 = q + r) -- s 从r和q定义出来
(ht : t * s = p) -- t 从s和p定义出来
(x : K)
:
(x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = 0)
↔
x = s - t - b / 3
∨
x = s * ω - t * ω ^ 2 - b / 3
∨
x = s * ω ^ 2 - t * ω - b / 3
:= by
let y := x + b / 3
have hi2 : (2 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _ -- 有倒数的数不为零
have hi3 : (3 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _
have h9 : (9 : K) = 3 ^ 2 := by norm_num
have h54 : (54 : K) = 2 * 3 ^ 3 := by norm_num
have h₁ : x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d -- 这个就是把二次项去掉的核心定理
= y ^ 3 + 3 * p * y - 2 * q := by
rw [hp, hq]
field_simp [h9] -- 所有分母都乘了一遍其实,由y导致的
field_simp [h54]
ring
have h2 := cubic_basic_eq_zero_iff2 hω hp_nonzero hr hs3 ht y
rw [h₁, h2]
simp only
repeat rw [eq_sub_iff_add_eq] -- rw长龙~~~
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- rw [eq_sub_iff_add_eq]
-- simp_rw [eq_sub_iff_add_eq] --替换写法
done
/-- 判定式为非零,通用的一般形式,求出三个解 -/
theorem MainGoal5 -- a b c d任意取
(ha : a ≠ 0) -- a有一个限制条件
(hω : IsPrimitiveRoot ω 3)
(hp : p = (3 * a * c - b ^ 2) / (9 * a ^ 2)) -- p 由a,b,c定义出来
(hp_nonzero : p ≠ 0) -- 判定式p的一个限制条件
(hq : q = (9 * a * b * c - 2 * b ^ 3 - 27 * a ^ 2 * d) / (54 * a ^ 3)) -- q 由a,b,c,d定义出来
(hr : r ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 3) -- r 由q,p定义出来
(hs3 : s ^ 3 = q + r) -- s 由r,q定义出来
(ht : t * s = p) -- t 由s,p定义出来
(x : K)
:
(a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = 0)
↔
x = s - t - b / (3 * a) -- 第一个解
∨
x = s * ω - t * ω ^ 2 - b / (3 * a) -- 第二个解
∨
x = s * ω ^ 2 - t * ω - b / (3 * a) -- 第三个解
:= by
have hi2 : (2 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _
have hi3 : (3 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _
have h9 : (9 : K) = 3 ^ 2 := by norm_num
have h54 : (54 : K) = 2 * 3 ^ 3 := by norm_num -- 模进的感觉
have h₁ : a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d
= a * (x ^ 3 + b / a * x ^ 2 + c / a * x + d / a) --a写到分母
:= by
field_simp
ring
have h₂ : ∀ x,
a * x = 0
↔
x = 0
:= by
intro x
simp [ha]
have hp' :
p
= (3 * (c / a) - (b / a) ^ 2) / 9
:= by
rw [hp]
field_simp --将分子上的分母先约分去掉
field_simp [h9] --先用h9替换,再去分母的意思
ring_nf
have hq' : q
= (9 * (b / a) * (c / a) - 2 * (b / a) ^ 3 - 27 * (d / a)) / 54
:= by
rw [hq]
field_simp
field_simp [h54]
ring_nf
have h3:= cubic_monic_eq_zero_iff2 (b / a) (c / a) (d / a) hω hp' hp_nonzero hq' hr hs3 ht x
rw [h₁, h₂, h3] -- h1和h2去掉三次项系数,
have h₄ :=
calc
b / a / 3
= b / (a * 3)
:= by
field_simp [ha]
_ = b / (3 * a)
:= by rw [mul_comm]
rw [h₄]
done
/-- 判定式为零,通用的一般形式,求出三个解 -/
theorem cubic_eq_zero_iff_of_p_eq_zero
(ha : a ≠ 0)
(hω : IsPrimitiveRoot ω 3)
(hpz : 3 * a * c - b ^ 2 = 0) --判定式3 * a * c - b ^ 2 为零
(hq : q = (9 * a * b * c - 2 * b ^ 3 - 27 * a ^ 2 * d) / (54 * a ^ 3)) -- q 从a,b,c,d定义而来
(hs3 : s ^ 3 = 2 * q) -- s 从q定义而来
(x : K) :
a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = 0
↔
x = s - b / (3 * a)
∨
x = s * ω - b / (3 * a)
∨
x = s * ω ^ 2 - b / (3 * a)
:= by
have h₁ : ∀ x a₁ a₂ a₃ : K,
x = a₁ ∨ x = a₂ ∨ x = a₃
↔
(x - a₁) * (x - a₂) * (x - a₃) = 0
:= by
intros
simp only [mul_eq_zero]
simp only [sub_eq_zero]
simp only [or_assoc]
have hi2 : (2 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _
have hi3 : (3 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _
have h54 : (54 : K) = 2 * 3 ^ 3 := by norm_num
have hb2 : b ^ 2 = 3 * a * c
:= by
rw [sub_eq_zero] at hpz
rw [hpz]
have hb3 : b ^ 3 = 3 * a * b * c
:= by
rw [pow_succ, hb2]
ring
have h₂ :=
calc
a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d
= a * (x + b / (3 * a)) ^ 3 + (c - b ^ 2 / (3 * a)) * x + (d - b ^ 3 * a / (3 * a) ^ 3)
:=by
field_simp --???为什么可以这样拼凑去掉二次项
ring
_ = a * (x + b / (3 * a)) ^ 3 + (d - (9 * a * b * c - 2 * b ^ 3) * a / (3 * a) ^ 3)
:= by
simp only [hb2]
simp only [hb3]
field_simp
ring --???
_ = a * ((x + b/(3 * a)) ^ 3 - s ^ 3) -- 这整个步骤其实就是把x的二次项,一次项都消除了
:= by
rw [hs3, hq]
field_simp [h54]
ring_nf --???
have h₃ : ∀ x,
a * x = 0
↔
x = 0
:= by
intro x
simp [ha]
have h₄ : ∀ x : K,
x ^ 3 - s ^ 3
= (x - s) * (x - s * ω) * (x - s * ω ^ 2)
:= by
intro x
calc
x ^ 3 - s ^ 3
= (x - s) * (x ^ 2 + x * s + s ^ 2)
:= by
ring
_ = (x - s) * (x ^ 2 - (ω + ω ^ 2) * x * s + (1 + ω + ω ^ 2) * x * s + s ^ 2)
:= by
ring
_ = (x - s) * (x ^ 2 - (ω + ω ^ 2) * x * s + ω ^ 3 * s ^ 2)
:= by
rw [hω.pow_eq_one, cube_root_of_unity_sum2 hω]
simp
_ = (x - s) * (x - s * ω) * (x - s * ω ^ 2)
:= by
ring --???因式分解的来处
rw [h₁, h₂, h₃, h₄ (x + b / (3 * a))]
ring_nf
end Field
end testroot3