陶哲轩工作流-人工智能数学验证+定理发明工具LEAN4 [经典数学篇1]从零开始证明3次方程的求根公式的充要条件（下）

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import Mathlib.Tactic.LinearCombination

import Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Roots

import Mathlib.Data.Polynomial.Eval

import Mathlib.Data.Real.Sqrt

-- 这集的终极目标:是证明一般3次方程的求根公式的充分必要条件。

-- 也就是，除了验证3个解的合理性以外

-- ，还会给出刚好能推出3个根的过程证明。

-- 又涉及到了很有趣的关于对称的现象

 

namespace testroot3

section Field

open Polynomial

variable {K : Type*} [Field K]

variable [Invertible (2 : K)] [Invertible (3 : K)] --实际的例子可以是一个二维平面上的线性变换，比如逆时针旋转或者放大缩小。在三维空间中，可以是一个三维物体的旋转变换，比如围绕某个轴的旋转。这些都可以用矩阵来表示，并且这些矩阵都是可逆的，因为它们可以被逆转回原始状态。

-- ???好像不是这样定义的，就是纯粹的K集合上的2，3元素有逆

variable (a b c d : K)

variable {ω p q r s t : K}

 

-- 1.IsPrimitiveRoot ω k：就是k-单位根,即

-- (ω ^ k = 1)

-- ∧ (∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 → k ∣ l) 这样定义的合理性在哪呢？下面会讲：

-- 2.hω.isRoot_cyclotomic

-- 2.1.cyclotomic n R：n-分圆多项式，z^n=1,(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn)，系数在R集合里，即 为什么是n个单位根呢？下面会讲：

-- 2.1.1.为什么：复数单位根是z = e^((i2πk) / n) (k=1,2,3...n) 为什么？为什么所有都可以表示呢？

-- 复数单位根z = e^((2πik) / n)的形式可以通过欧拉公式推导得出。

-- 欧拉公式是一个重要的数学公式，它描述了复指数函数和三角函数之间的关系。欧拉公式的表达式为：

-- e^(ix) = cos(x) + isin(x)

-- e^(iπ) = cos(π) + isin(π) = -1 ， e^(i2π) = 1

-- 其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数。这个公式将指数函数和三角函数联系在一起。

-- 现在我们考虑复数单位根，即满足zⁿ = 1的复数。假设z可以表示为

-- z = Ce^(iθ)，C是实数，可以表示的原因是：z是一个任意的复数(Ccos(θ) + iCsin(θ)) =C(cos(θ) + isin(θ))=Ce^(iθ)

-- z = Ce^(iθ)

-- ，其中θ是实数。我们希望找到满足zⁿ = 1，即zⁿ =(C^n)e^(iθn)=1中θ的取值，此时n和i已固定。

-- zⁿ = (Ce^(iθ)）^n =(C^n)*e^(iθn)=1

-- 应用指数函数的幂运算法则，我们可以将上述方程改写为：

-- (C^n)*e^(iθn)=1

-- 根据欧拉公式，左侧的e^(inθ)可以表示为：

-- e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) = 1 = e^(i2π) = cos(2π) + isin(2π) = 1 + i * 0

-- 左边整体就是：(C^n) (cos(nθ) + i sin(nθ)) = (C^n)*cos(nθ) + i(C^n)sin(nθ) = 1 = 1 + i * 0

-- 由于右侧等于1，由于实数部分和复数部分分别对应相同，我们可以得到两个等式：

-- (C^n)*cos(nθ) = 1

-- (C^n)sin(nθ) = 0

-- z = Ce^(iθ)

-- 原来的问题是求zⁿ=1的根,问题变成了要找出所有满足条件的C θ，代入到z = Ce^(iθ)，这个就是根的一般形式了

-- (C^n)*cos(nθ) = 1

-- (C^n)sin(nθ) = 0 -- (C^n)=0， C=0 , 不可能的。

-- n分为奇数，偶数讨论:

-- n为奇数

-- nθ = kπ , (C^n) = 1/cos(kπ)

-- 所有满足的θ可以表示为θ = (πk) / n，我们就得到了复数单位根的表达式：

-- z 定义= Ce^(iθ) =Ce^(iπk/n)

-- k=奇数，C^n=-1，C=-1，-1*e^(iπk/n)

-- k=偶数，C^n=1，C=1，1*e^(iπk/n)

-- 由欧拉公式知道+1，-1的e表示：

-- -1 = e^(iπ3/3) = e^(iπn/n) 由于 e^(ix) = cos(x) + isin(x)

-- 继续改写：

-- k=奇数，C^n=-1，C=-1，-1*e^(iπk/n)= e^(iπn/n) * e^(iπk/n) = e^(iπ(k+n)/n)

-- k=偶数，C^n=1，C=1，1*e^(iπk/n) = e^(iπk/n)

-- n为偶数

-- nθ = kπ 不行的，因为代入第一行后：(C^n) = 1/cos(kπ)， k是奇数时，(C^n) = -1 ，C为实数没有虚部，不可能成立的。

-- nθ = 2kπ 才行

-- nθ = 2kπ, (C^n)*cos(2kπ) = (C^n) *1=1 所以 (C^n) = 1，C为实数没有虚部， 所以C=1,-1

-- C=1的情况 z = Ce^(iθ) = 1*e^(i2kπ/n)=(cos(2kπ/n) + i*sin(2kπ/n)) k=1,2,3,4...

-- C=-1的情况 z = Ce^(iθ) = (-1)*e^(i2kπ/n) k=1,2,3,4...

-- 考虑(-1)*e^(i2kπ/n)的情况：(-1)*e^(i2kπ/n) = (-1*cos(2kπ/n) + i*-1*sin(2kπ/n))可以看到偶数情况下是对称的点。

-- cos(θ) + i*sin(θ)

-- 举例： n=4

-- 抽象过程除了iπ外的部分： (2*1/4) (2*2/4) (2*3/4) (2*4/4) (2*5/4)=[2/4]

-- 也是可以合并成e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...

-- 由欧拉公式知道+1，-1的e表示：

-- -1 = e^(iπ3/3)

-- 1 = e^(iπ6/3)

-- n是奇数的情况也可以合并成e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...的：

-- k=奇数，C^n=-1，C=-1，-1*e^(iπk/n)= e^(iπn/n) * e^(iπk/n) = e^(iπ(k+n)/n)

-- k=偶数，C^n=1，C=1，1*e^(iπk/n) = e^(iπk/n)

-- n=3 , 每次分子+2，就是2,4,6的重复

-- 抽象过程除了iπ外的部分： （1+3）/3=4/3 （3+3）/3=6/3 （5+3）/3=8/3 = [2/3] [4/3]

-- 2/3 [4/3] [6/3] [8/3]=[2/3]

-- 所以人们就从这个规律重写了一遍公式，和并起来了，写成e^(iπ(2k₂)/n) , k₂=1,2,3,4.....

-- ???视频 n=5，6的情况讲解一下

 

-- z = e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...

-- e^(ix) = cos(x) + i sin(x)

-- 以n=3举例

-- 这里证明一个定理两边多项式相等x^3 - 1 = （x-e^(i(2π) / 3)）*（x-e^(i(2*2π) / 3)）* （x-e^(i(3*2π) / 3)）=(x-x1)(x-x2)(x-x3)

--

-- 右边= （x-e^(i(1*2π) / 3)）*（x-e^(i(2*2π) / 3)）* （x-e^(i(3*2π) / 3)）

-- 分配律= x^3 - e^(i(2π) / 3)*e^(i(2*2π) / 3)*e^(i(3*2π) / 3) + ...

-- e^(i(2π) / 3)*e^(i(2*2π) / 3)*e^(i(3*2π) / 3) = e^(i(4π)

--抽象写法= x^3 - 1 + x*(（2+3）+（1+3）+（1+2）) + x^2*（-1）(3+2+1)

-- = x^3 - 1 + x * (cos(5* 2π/3)+cos(4* 2π/3)+ cos(3* 2π/3) + i sin(5* 2π/3) + i sin(4* 2π/3) + i sin(3* 2π/3)) +

-- x^2* （-1）（cos(3* 2π/3)+cos(2* 2π/3)+cos(1* 2π/3) + i sin(3* 2π/3 + i sin(2* 2π/3）+i sin(1* 2π/3））

-- 关于x轴对称的一对对，对称的奇妙之处，后面讲一下???n=5的情况

-- todo???后面单独讲：我们试一下n=4,x^4 - 1 = （x-e^(i(1*2π) / 4)）*（x-e^(i(2*2π) / 4)）* （x-e^(i(3*2π) / 4)） * （x-e^(i(4*2π) / 4)）

-- x^4 - 1(这个1只要π的整数倍即得1，不需要2π得整数倍)

-- 抽象写法 x^1* （(2+3+4)+(1+3+4)+(1+2+4)+(1+2+3)）

-- 后面讲一下???n=6的情况

-- z = e^(i2k₂π/n) k₂=1,2,3,4...

-- 验证一下是否满足：(ω ^ m = 1) ∧ (∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 → m ∣ l)

-- 此时m=3,

-- 验证ω=x1，即ω=e^(i(2π) / 3)=cos(2π/3) + i*sin(2π/3) 是否满足，∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 ，只有l是m=3的倍数时成立?

-- 我们尝试l=1,2,3则不用尝试代入就知道结果为1,4即1，5即2，6即3所以结果也是1，后面都是循环的，所以实际上只需要验证l=1,2

-- l=1,2是否满足ω ^ l = 1 呢？我们要证明它不满足，因为e^(i(2π1) / 3) 、 e^(i(2π2) / 3) 都不是 e^(i2πk) 这个2π的整数倍，所以不等于1

-- 验证ω=x2，即ω=e^(i(4π) / 3)=cos(4π/3) + i*sin(2π/3) 是否满足，∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 ，只有l是m=3的倍数时成立

-- 我们尝试l=1,2,3不用尝试代入知道是2π的整数倍，所以就变成了验证次数，i后面的项是否2π的整数倍。

-- l=1,2代入可知e^(i(4π) *1/ 3) 、 e^(i(4π)*2 / 3)， 都无法和分母3约掉，即不是整数倍，所以不等于1

-- 验证ω=x3，即ω=e^(i(6π) / 3) = e^(i(2π))=1， 这个却是不满足：(ω ^ m = 1) ∧ (∀ l : ℕ, ω ^ l = 1 → m ∣ l)的，因为l是1，2也满足。

-- 所以在lean里面定义的IsPrimitiveRoot ω k这个根呢，是去掉1的。

-- 这就是复数单位根的一般形式。它表示了复数单位根与欧拉公式之间的关系，其中k是整数，

-- 满足0 ≤ k < n。这个形式允许我们通过指数函数来表示复数单位根，从而方便地进行计算和处理。

-- 2.1.2.为什么：复数单位根是圆周上均匀分布的n个点

-- 由于根形式是z = e^(iθ) = e^((i2πk) / n) 根据欧拉公式e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)变成

-- 这里θ即(2πk) / n， 所以就是 （360度/n）* 1，2，3，4......，

-- 也就是z = e^(iθ) = e^((2πik) / n) = cos((2πk) / n) + i sin((2πk) / n) 表示成二维的数就知道

-- 2.2.IsRoot p x:就是x代入p的值为0，即p的根

-- 3.cyclotomic_prime p R：是一个多项式， p是素数, cyclotomic p R = ∑ i in range p, X ^ i

-- 即： p分圆多项式=多项式（∑ i in range p, X ^ i），（X是多项式变量）

-- 4. Finset.sum_range_succ ： 求和n+1项=求和n项 +（第n+1项）

-- theorem cube_root_of_unity_sum (hω : IsPrimitiveRoot ω 3) : 1 + ω + ω ^ 2 = 0 := by

-- 为什么可以这样定义k-单位根的第二个属性：∀ l : ℕ, ζ ^ l = 1 → k ∣ l ？ 举例说明就知道了

-- have h1:= hω.isRoot_cyclotomic (by decide)

-- simpa [cyclotomic_prime, Finset.sum_range_succ] using h1

-- #print cube_root_of_unity_sum

theorem cube_root_of_unity_sum2

(hω : IsPrimitiveRoot ω 3)

: 1 + ω + ω ^ 2 = 0

:= by

let h1 : IsRoot (cyclotomic 3 K) ω -- cyclotomic 3 K代表的是 (x-x1)(x-x2)(x-x3)

:= by

refine' IsPrimitiveRoot.isRoot_cyclotomic _ _

-- 我们就不点进去看了，只感性的证明：

· exact Nat.succ_pos 2

· exact hω

-- ω ^ 3 = 1

-- 现实中已知x^3 - 1 = （x-e^(i(2π) / 3)）*（x-e^(i(2*2π) / 3)）* （x-e^(i(3*2π) / 3)）

-- 举例：ω = e^(i(2π) / 3) -- e^(i(2*2π) / 3）

-- 即x^3 - 1 = (x-ω)(x-ω^2)(x-ω^3) --???为什么这么巧呢？任意一个k-单位根，都可以自乘生成所有的复数根

-- 两边除以(x-1)，得到(x-ω)(x-ω^2) = 1 + x + x^2

-- 得出 (x-ω)(x-ω^2)的根 = 1 + x + x^2的根

-- 也就是ω，ω^2= 1 + x + x^2的根

-- 也就是ω，ω^2,1这三个数= (1 + x + x^2)(x-1)的根 = x^3 - 1的根 = （x-e^(i(2π) / 3)）*（x-e^(i(2*2π) / 3)）* （x-e^(i(3*2π) / 3)）的根= 分圆多项式的根

done

-- exact IsPrimitiveRoot.isRoot_cyclotomic (@of_decide_eq_true (0 < 3) (Nat.decLt 0 3) (Eq.refl true)) hω

have h2 : IsRoot (cyclotomic 3 K) = IsRoot (1 + X + X ^ 2)

:= by

rw [cyclotomic_prime]--看成定义

refine' congrArg _ _

rw [Finset.sum_range_succ]

rw [Finset.sum_range_succ]

rw [Finset.sum_range_succ]

simp only [Finset.range_zero]

simp only [Finset.sum_empty]

simp only [pow_zero]

simp only [zero_add]

simp only [pow_one]

done

have h3 : (eval ω (1 + X + X ^ 2)=0) = (1 + ω + ω ^ 2 = 0) -- ???eval x p是: x代入多项式p的值

:= by

simp only [eval_add, eval_one, eval_X, eval_pow] --大概就是代入的过程

rw [← h3]

simp only [eval_add, eval_one, eval_X, eval_pow]

have h4 :IsRoot (cyclotomic 3 K) ω = IsRoot (1 + X + X ^ 2) ω

:= by

exact congrFun h2 ω

have h5 : IsRoot (1 + X + X ^ 2) ω = (eval ω (1 + X + X ^ 2) = 0)

:= by

simp only [IsRoot.def, eval_add, eval_one, eval_X, eval_pow]

clear h2

have h6:= h4.trans h5

clear h4 h5

have h7:= h6.trans h3

clear h6 h3

rw [h7] at h1

exact h1

done

 

/-- 去掉二次方项的形式 -/

theorem cubic_basic_eq_zero_iff2

(hω : IsPrimitiveRoot ω 3) -- p q可以任意取

(hp_nonzero : p ≠ 0)

(hr : r ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 3) -- r 从p和q定义出来

(hs3 : s ^ 3 = q + r) -- s 从q和r定义出来

(ht : t * s = p) -- t 从s和p定义出来

(x : K) :

(x ^ 3 + 3 * p * x - 2 * q = 0)

↔

(x = s - t

∨

x = s * ω - t * ω ^ 2

∨

x = s * ω ^ 2 - t * ω)

:= by

have h₁ : ∀ x a₁ a₂ a₃ : K,

x = a₁ ∨ x = a₂ ∨ x = a₃

↔

(x - a₁) * (x - a₂) * (x - a₃) = 0

:= by

intros

simp only [mul_eq_zero]

simp only [sub_eq_zero]

simp only [or_assoc]

rw [h₁]

clear h₁

refine' Eq.congr _ rfl

have hs_nonzero : s ≠ 0

:= by

contrapose! hp_nonzero with hs_nonzero --contrapose! 是逆否命题 非A→ 非B 换句话说 B→ A

linear_combination -1 * ht + t * hs_nonzero -- linear_combination：多个等式,等号左右分别相加

rw [← mul_left_inj' (pow_ne_zero 3 hs_nonzero)] -- 为什么要变复杂呢？

have H := cube_root_of_unity_sum2 hω

clear hω -- 是好习惯吗？清掉用过的条件

-- 下面会构造几个线性组合的等式，简称lc

have lc1: (-q + r + s ^ 3) * s ^ 3

= (-q + r + s ^ 3) * (q + r)

:= by

simp only [mul_eq_mul_left_iff]

have lc1_1 := congrArg (HMul.hMul (-q + r + s ^ 3)) hs3

exact mul_eq_mul_left_iff.1 (lc1_1)

have lc2: (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2) * (t * s)

= (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2) * p

:= by

simp only [mul_eq_mul_left_iff]

have lc2_1 := (congrArg (HMul.hMul (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2)) ht)

exact mul_eq_mul_left_iff.mp lc2_1

have lc3:

(

x ^ 2 * (s - t) + x * (-ω * (s ^ 2 + t ^ 2) + s * t * (3 + ω ^ 2 - ω)) -

(-(s ^ 3 - t ^ 3) * (ω - 1) + s ^ 2 * t * ω ^ 2 - s * t ^ 2 * ω ^ 2)

)

*

(s ^ 3)

*

(1 + ω + ω ^ 2)

=

(x ^ 2 * (s - t) + x * (-ω * (s ^ 2 + t ^ 2) + s * t * (3 + ω ^ 2 - ω)) -

(-(s ^ 3 - t ^ 3) * (ω - 1) + s ^ 2 * t * ω ^ 2 - s * t ^ 2 * ω ^ 2)

)

*

s ^ 3

*

0

:= by

simp only [neg_mul]

simp only [mul_zero]

simp only [mul_eq_zero]

-- simp only [pow_eq_zero_iff]

exact Or.inr H

-- clear hs3 ht hs_nonzero H

-- 很神奇的变参数防近视过程

-- set s_3:= s ^ 3

-- set x_3:= x ^ 3

-- set px:= p * x

-- set x3:= ω ^ 2

-- set x4:= s ^ 2 + t ^ 2

-- set x5:= 3 + x3 - ω

-- set x6:= (-ω * x4 + s * t * x5)

-- set x7:= x ^ 2 * (s - t)

-- set x8:= 3 * x * x1

linear_combination --???这里抽一集具体算一下为什么等式左右成立，以及为何要这样拆。

hr +

lc1 -

lc2 +

lc3

-- linear_combination -- 原始写法

-- hr + (-q + r + s ^ 3) * hs3 - (3 * x * s ^ 3 + (t * s) ^ 2 + t * s * p + p ^ 2) * ht +

-- (x ^ 2 * (s - t) + x * (-ω * (s ^ 2 + t ^ 2) + s * t * (3 + ω ^ 2 - ω)) -

-- (-(s ^ 3 - t ^ 3) * (ω - 1) + s ^ 2 * t * ω ^ 2 - s * t ^ 2 * ω ^ 2)) * s ^ 3 * H

done

 

/-- 三次方项系数为1的形式 -/

theorem cubic_monic_eq_zero_iff2

(hω : IsPrimitiveRoot ω 3) --b c任意取

(hp : p = (3 * c - b ^ 2) / 9) -- p 从b和c定义出来

(hp_nonzero : p ≠ 0) -- p有一个限制条件

(hq : q = (9 * b * c - 2 * b ^ 3 - 27 * d) / 54) -- q 从b和c和d定义出来

(hr : r ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 3) -- r 从q和p定义出来

(hs3 : s ^ 3 = q + r) -- s 从r和q定义出来

(ht : t * s = p) -- t 从s和p定义出来

(x : K)

:

(x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = 0)

↔

x = s - t - b / 3

∨

x = s * ω - t * ω ^ 2 - b / 3

∨

x = s * ω ^ 2 - t * ω - b / 3

:= by

let y := x + b / 3

have hi2 : (2 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _ -- 有倒数的数不为零

have hi3 : (3 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _

have h9 : (9 : K) = 3 ^ 2 := by norm_num

have h54 : (54 : K) = 2 * 3 ^ 3 := by norm_num

have h₁ : x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d -- 这个就是把二次项去掉的核心定理

= y ^ 3 + 3 * p * y - 2 * q := by

rw [hp, hq]

field_simp [h9] -- 所有分母都乘了一遍其实，由y导致的

field_simp [h54]

ring

have h2 := cubic_basic_eq_zero_iff2 hω hp_nonzero hr hs3 ht y

rw [h₁, h2]

simp only

repeat rw [eq_sub_iff_add_eq] -- rw长龙～～～

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- rw [eq_sub_iff_add_eq]

-- simp_rw [eq_sub_iff_add_eq] --替换写法

done

 

/-- 判定式为非零，通用的一般形式，求出三个解 -/

theorem MainGoal5 -- a b c d任意取

(ha : a ≠ 0) -- a有一个限制条件

(hω : IsPrimitiveRoot ω 3)

(hp : p = (3 * a * c - b ^ 2) / (9 * a ^ 2)) -- p 由a,b,c定义出来

(hp_nonzero : p ≠ 0) -- 判定式p的一个限制条件

(hq : q = (9 * a * b * c - 2 * b ^ 3 - 27 * a ^ 2 * d) / (54 * a ^ 3)) -- q 由a,b,c,d定义出来

(hr : r ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 3) -- r 由q,p定义出来

(hs3 : s ^ 3 = q + r) -- s 由r,q定义出来

(ht : t * s = p) -- t 由s,p定义出来

(x : K)

:

(a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = 0)

↔

x = s - t - b / (3 * a) -- 第一个解

∨

x = s * ω - t * ω ^ 2 - b / (3 * a) -- 第二个解

∨

x = s * ω ^ 2 - t * ω - b / (3 * a) -- 第三个解

:= by

have hi2 : (2 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _

have hi3 : (3 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _

have h9 : (9 : K) = 3 ^ 2 := by norm_num

have h54 : (54 : K) = 2 * 3 ^ 3 := by norm_num -- 模进的感觉

have h₁ : a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d

= a * (x ^ 3 + b / a * x ^ 2 + c / a * x + d / a) --a写到分母

:= by

field_simp

ring

have h₂ : ∀ x,

a * x = 0

↔

x = 0

:= by

intro x

simp [ha]

have hp' :

p

= (3 * (c / a) - (b / a) ^ 2) / 9

:= by

rw [hp]

field_simp --将分子上的分母先约分去掉

field_simp [h9] --先用h9替换，再去分母的意思

ring_nf

have hq' : q

= (9 * (b / a) * (c / a) - 2 * (b / a) ^ 3 - 27 * (d / a)) / 54

:= by

rw [hq]

field_simp

field_simp [h54]

ring_nf

have h3:= cubic_monic_eq_zero_iff2 (b / a) (c / a) (d / a) hω hp' hp_nonzero hq' hr hs3 ht x

rw [h₁, h₂, h3] -- h1和h2去掉三次项系数，

have h₄ :=

calc

b / a / 3

= b / (a * 3)

:= by

field_simp [ha]

_ = b / (3 * a)

:= by rw [mul_comm]

rw [h₄]

done

 

/-- 判定式为零，通用的一般形式，求出三个解 -/

theorem cubic_eq_zero_iff_of_p_eq_zero

(ha : a ≠ 0)

(hω : IsPrimitiveRoot ω 3)

(hpz : 3 * a * c - b ^ 2 = 0) --判定式3 * a * c - b ^ 2 为零

(hq : q = (9 * a * b * c - 2 * b ^ 3 - 27 * a ^ 2 * d) / (54 * a ^ 3)) -- q 从a,b,c,d定义而来

(hs3 : s ^ 3 = 2 * q) -- s 从q定义而来

(x : K) :

a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = 0

↔

x = s - b / (3 * a)

∨

x = s * ω - b / (3 * a)

∨

x = s * ω ^ 2 - b / (3 * a)

:= by

have h₁ : ∀ x a₁ a₂ a₃ : K,

x = a₁ ∨ x = a₂ ∨ x = a₃

↔

(x - a₁) * (x - a₂) * (x - a₃) = 0

:= by

intros

simp only [mul_eq_zero]

simp only [sub_eq_zero]

simp only [or_assoc]

have hi2 : (2 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _

have hi3 : (3 : K) ≠ 0 := nonzero_of_invertible _

have h54 : (54 : K) = 2 * 3 ^ 3 := by norm_num

have hb2 : b ^ 2 = 3 * a * c

:= by

rw [sub_eq_zero] at hpz

rw [hpz]

have hb3 : b ^ 3 = 3 * a * b * c

:= by

rw [pow_succ, hb2]

ring

have h₂ :=

calc

a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d

= a * (x + b / (3 * a)) ^ 3 + (c - b ^ 2 / (3 * a)) * x + (d - b ^ 3 * a / (3 * a) ^ 3)

:=by

field_simp --???为什么可以这样拼凑去掉二次项

ring

_ = a * (x + b / (3 * a)) ^ 3 + (d - (9 * a * b * c - 2 * b ^ 3) * a / (3 * a) ^ 3)

:= by

simp only [hb2]

simp only [hb3]

field_simp

ring --???

_ = a * ((x + b/(3 * a)) ^ 3 - s ^ 3) -- 这整个步骤其实就是把x的二次项，一次项都消除了

:= by

rw [hs3, hq]

field_simp [h54]

ring_nf --???

have h₃ : ∀ x,

a * x = 0

↔

x = 0

:= by

intro x

simp [ha]

have h₄ : ∀ x : K,

x ^ 3 - s ^ 3

= (x - s) * (x - s * ω) * (x - s * ω ^ 2)

:= by

intro x

calc

x ^ 3 - s ^ 3

= (x - s) * (x ^ 2 + x * s + s ^ 2)

:= by

ring

_ = (x - s) * (x ^ 2 - (ω + ω ^ 2) * x * s + (1 + ω + ω ^ 2) * x * s + s ^ 2)

:= by

ring

_ = (x - s) * (x ^ 2 - (ω + ω ^ 2) * x * s + ω ^ 3 * s ^ 2)

:= by

rw [hω.pow_eq_one, cube_root_of_unity_sum2 hω]

simp

_ = (x - s) * (x - s * ω) * (x - s * ω ^ 2)

:= by

ring --???因式分解的来处

rw [h₁, h₂, h₃, h₄ (x + b / (3 * a))]

ring_nf

 

end Field

end testroot3