数学小报2 对数 Logarithm

数学小报2 - 对数 log

0. 前言

非常感谢大家对于数学小报提出的意见，在这里提前祝大家新年快乐！

1. 之前有一位同学提出几何题可以通过建立平面直角坐标系来解（我好像发现了数学的BUG），其实这种方法叫做建系，不过需要强大的计算力而且化为函数也难（例：角平分线怎么做呢），不推荐在日常学习中使用。
2. 有同学提出意见说我写的太简单了，我认为数学小报是给同学们展示数学的一些小知识和魅力，不追求难而应追求其内在的思维。

还有一些错别字，说实话这些错误让我震惊到了。接下来的数学小报我会严格检查，希望尽可能减少错误。每个小报的最新版本请见 https://blog.csdn.net/Mr_Azz。

1. 思考

加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。幂运算的逆运算除了开方，还有一个运算：对数运算。我们观察一个幂：$a^b=c$，幂运算是已知 $a,b$ 求 $c$，开方是已知 $b,c$ 求 $a$，对数则是已知 $a,c$ 求 $b$。

我们如何学习一种运算？可以从以下几个方面入手：

1. 前置知识（乘法的前置是加法） 2. 定义和概念 3. 公式和规律 4.用途

那么对数运算的前置知识即为幂运算。

2. 定义（注意！在这里我们不讨论 $a\le 0$ （思考：为什么？）或 $a=1$ 的情况，无意义）
$$若a^b=c，则{\log }_{a}c=b，a为底数，c为幂，b为指数$$

3. 基本运算

设 ${\log }_{a}b=x,{\log }_{a}c=y,{\log }_{c}a=z$ 即 $a^x=b,a^y=c,c^z=a$

证明的思路：转化为之前学过的幂的运算来证明即可。

3.0 定义式 $a^{{\log }_{a}b}=b$ 由定义易得

3.1 多功能复合公式

$\frac{n}{m}{\log }_{a}b={\log }_{a^m}{b}^n$

证明：

$\because (a^m{)}^{\frac{n}{m}{\log }_{a}b}=a^{n{\log }_{a}b}=(a^{\log {}_{a}b}{)}^n=b^n$（定义式）

$\therefore \frac{n}{m}{\log }_{a}b={\log }_{a^m}{b}^n$

3.2 加法

${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_{a}bc$

证明：

$\because a^x\times a^y=a^{x+y}$ 即 $(b\times c=bc)$

$\therefore {\log }_{a}bc=x+y={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

3.3 减法

${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$

3.4 换底公式

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$，也就是要证明 ${\log }_{a}b\times {\log }_{c}a={\log }_{c}b$

证明：

$\because c^z=a,a^x=b$

$\therefore (c^z{)}^x=b$ 即 $c^{xz}=b$

4. 总结

$$对数公式\{\begin{array}{c}{a}^{{\log }_{a}b}=b定义式\\ \frac{n}{m}{\log }_{a}b={\log }_{a^m}{b}^n多功能复合公式\\ {\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_{a}bc加法\\ {\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}减法\\ {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}换底公式\end{array}$$