01整数规划

http://lghjx.573114.com/Blog/Html/103D/275536.html

下面的不是很清楚 ，这个 比较好。

 

简介：

          详情 前参见 国家集训队论文 2007年 胡伯涛   论文

 

题意:求存在一个环路,所有的点权之和/所以的边权之和 最大是多少？

 http://poj.org/problem?id=3621

算法:此题是对01分数规划的应用,那么首先明白01分数规划的思想.

 

01分数规划的思想的描述如下：令c=(c1,c2,…,cn)和d=(d1,d2,…,dn)为n维整数向量，那么一个0-1分数规划问题用公式描述如下:FP: 最小化(c1x1+…cnxn)/(d1x1…dnxn)=cx/dx xi∈{0,1}这里x表示列向量(x1,x2,…,xn)T .0-1值向量的子集Ω称作可行域，而x则是Ω的一个元素，我们称x为可行解。即可以简化为y=c/d.那么再演变一下：y-c/d=0.我们目标是求y.那么我们可以假设函数f(y)=y-c/d.

 

重要结论:

对于分数规划问题，有许多算法都能利用下面的线性目标函数解决问题。
Q(L): 最小化 cx-Ldx xi∈{0,1}

记z(L)为Q(L)的最值。令x*为分数规划的最优解，并且令L*=(cx*)/(dx*)(注：分数规划的最值)。那么下面就容易知道了：
z(L) > 0 当且仅当 L<L*
z(L) = 0 当且仅当 L=L*
z(L) < 0 当且仅当 L>L*
此外，Q(L*)的最优解也能使分数规划最优化。因此，解决分数规划问题在本质上等同于寻找L=L*使z(L)=0

 

因此,求解f(y)=0,为其函数的最优解，即可以利用二分的思想逐步推演y,从而求得最优解.

 

回到题目,我们知道是求解segma(f[V])/segma(E[v])的最大值,同时每个结点对应一个点权,每条边对应一个边权,那么我们就可以联想到应用01分数规划的思想来求解.而01分数规划是与二分紧紧联系在一起的.那么怎么应用二分求解呢？

 

我们首先想想当仅仅有2个结点环路的时候,问题就演变为f(y)=y-c/d,而y是通过二分逐步推算出来的,那么我们的任务就变为在一定的精度范围内测试求解其最优解.当y-c/d>0时,y减少; y-c/d<0时,y增大.在2个结点之间,那么我们就可用重新将图的权变为y-c/d,这样问题就回到2个结点的环路是否存在负权回路,存在说明y-c/d<0,不存在y-c/d>0.从而进一步推算最优解y。

 

 

/*
 01整数规划问题 ，
01整数规划问题 分为两类 最大化 ，最小化

以最小化 如    求 最小值   l=ax/bx  ，（ax  bx是一些数的和），变形为  ax-l*bx=0,我们令 f(x)=min(ax-l*bx),我们要求的是这样的一个 l  对于 给定的  l   

首先  ax1-l*bx1=0   

不存在 x 使得    (因为  l  是我们求的 最小值)

 ax-l*bx  > 0

这样的话  ax>l*bx  ;   

 

关键是我们如何求这个l  呢?   有上面的 我们可以得到，用 二分法，求    l  ，

对于     f(x)=min(ax-l*bx)     

对于给定的 l  

若  f(x)<0   则说明 l 偏大  

若  f(x)>0  说明   l 偏小

 

对于 图上的 01  整数规划 我门只需要将 边权变为   ax-l*bx  或者 l*bx- ax；

 

例如 对于  最优比率树   ：    大意：给定一张图，每条边有一个收益值和一个花费值，求一个生成树，要求花费/收益最小，输出这个值

  

我们只需要将 边权 变为  a1-l*b1   然后 求最小生成树  就行    判断  求和的 ai-l*bi 的值 于0  的大小

 
*/

poj   2976     Dropping tests   【最优比例点】

  

http://poj.org/problem?id=2976

 

View Code

 1 #include<iostream>

 2 #include<algorithm>

 3 #include<cstring>

 4 #include<cmath>

 5 #include<queue>

 6 #include<set>

 7 #include<map>

 8 #define Min(a,b)  a>b?b:a

 9 #define Max(a,b)  a>b?a:b

10 #define CL(a,num)  memset(a,num,sizeof(a));

11 #define inf 9999999

12 #define maxn 1030

13 #define eps  1e-6

14 

15 using namespace std;

16 int cmp(const double  a,const double  b)

17 {

18     return a>b;

19 }

20 double  a[maxn],b[maxn];

21 double d[maxn];

22 int main()

23 {

24     __int64 n,k,i;

25     while(scanf("%I64d%I64d",&n,&k),n+k)

26     {

27         for(i=1;i<=n;i++)

28          {

29              scanf("%lf",&a[i]);

30          }

31          for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&b[i]);

32          double l=0,r=-1;

33          for(i=1;i<=n;i++)

34          {

35              if(a[i]/(b[i]*1.0)>r)r = a[i]/(b[i]*1.0);

36          }

37 

38           int m=n-k;

39           double ans,mid;

40           r=100.0;

41          while(r-l>eps)

42          {

43              mid=(l+r)/2;

44              for(i=1;i<=n;i++)d[i]=a[i]*100.0-mid*b[i];

45              sort(d+1,d+n+1,cmp);

46 

47 

48 

49 

50              double temp=0;

51              for(i=1;i<=m;i++)temp+=d[i];

52              if(temp>=0)

53              {

54 

55 

56 

57 

58                  l=mid;

59 

60              }

61              else r=mid;

62          }

63 

64 

65          printf("%.0lf\n",mid);

66 

67     }

68 }

 

【例题2Poj2728Desert King——最优比率生成树】

http://poj.org/problem?id=2728

 

View Code

  1 #include<stdio.h>

  2 #include<iostream>

  3 #include<algorithm>

  4 #include<cstring>

  5 #include<cmath>

  6 #include<queue>

  7 #include<set>

  8 #include<map>

  9 #define Min(a,b)  a>b?b:a

 10 #define Max(a,b)  a>b?a:b

 11 #define CL(a,num)  memset(a,num,sizeof(a));

 12 #define inf 9999999

 13 #define maxn 1030

 14 #define eps  1e-6

 15 

 16 using namespace std;

 17 struct node

 18 {

 19     double x,y,h;

 20 }p[maxn];

 21 struct cnode

 22 {

 23     int k;

 24     double w;

 25     cnode(int kk,double ww): k(kk),w(ww){}

 26     friend bool operator < (cnode a,cnode b)

 27     {

 28         return a.w>b.w;

 29     }

 30 };

 31 int n;

 32 double mat[maxn][maxn],cost[maxn][maxn],dis[maxn],vis[maxn];

 33 priority_queue<cnode>que;

 34 void init()

 35 {

 36     int i,j;

 37     for(i=0;i<=n;i++)

 38     {

 39         for(j=0;j<=n;j++)

 40         {

 41             mat[i][j]=inf;

 42             cost[i][j]=0;

 43         }

 44     }

 45 }

 46 

 47 double  prim(double mid)

 48 {

 49     int i,j,k;

 50     double res=0;

 51     for(i=0;i<=n;i++)

 52     {

 53         dis[i]=inf;

 54         vis[i]=0;

 55     }

 56     dis[0]=0;

 57 

 58     for(i=0;i<n;i++)

 59     {

 60        double  min=inf;

 61         for(j=0;j<n;j++)

 62         {

 63             if(!vis[j]&&dis[j]<min)

 64             {

 65                 min=dis[j];

 66                 k=j;

 67             }

 68         }

 69         vis[k]=1;

 70         res+=dis[k];

 71         for(j=0;j<n;j++)

 72         {

 73             double t=cost[k][j]-mid*mat[k][j];

 74             if(!vis[j]&&mat[k][j]!=inf&&dis[j]>t)

 75             {

 76                 dis[j]=t;

 77             }

 78         }

 79 

 80     }

 81     return res;

 82 }

 83 int main()

 84 {

 85     int i,j;

 86     while(scanf("%d",&n),n)

 87     {

 88         for(i=0;i<n;i++)

 89         {

 90              scanf("%lf%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].h);

 91         }

 92          init();

 93 

 94         double max=-1;

 95         for(i=0;i<n;i++)

 96           for(j=0;j<n;j++)

 97           {

 98               double l=sqrt((p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y));

 99               double w=fabs(p[i].h-p[j].h);

100               mat[i][j]=l;

101                mat[j][i]=l;

102               if(w>max)max=w;

103               cost[i][j]=w;

104               cost[j][i]=w;

105 

106           }

107 

108          double l=0,r=max,mid;

109          while(r-l>eps)

110          {

111              mid=(l+r)/2;

112              if(prim(mid) >= 0)

113              {

114 

115                  l = mid;

116              }

117              else r = mid;

118 

119          }

120          printf("%.3lf\n",mid);

121     }

122 

123 }

 

【例题3Poj3621Sightseeing Cows——最优比率环】

 spfa  （判负环）

 

http://poj.org/problem?id=3621

 

View Code

 1 #include<stdio.h>

 2 #include<iostream>

 3 #include<algorithm>

 4 #include<cstring>

 5 #include<cmath>

 6 #include<queue>

 7 #include<set>

 8 #include<map>

 9 #define Min(a,b)  a>b?b:a

10 #define Max(a,b)  a>b?a:b

11 #define CL(a,num)  memset(a,num,sizeof(a));

12 #define inf 9999999

13 #define maxn 1030

14 #define eps  1e-6

15 using namespace std;

16 struct node

17 {

18     int u;

19     int w;

20     node (int uu,int ww):u(uu),w(ww){}

21 };

22 vector<node>p[maxn];

23 int n,m;

24 queue<int>que;

25 double dis[maxn];

26 int vis[maxn],tol[maxn],a[maxn];

27 bool spfa(double mid)

28 {

29     int i;

30     while(!que.empty())que.pop();

31 

32 

33     for(i=1;i<=n;i++)que.push(i);

34 

35      for(i=1;i<=n;i++)

36        dis[i]=inf;

37 

38     CL(vis,true);  CL(tol,0);

39 

40     while(!que.empty())

41     {

42         int u=que.front();que.pop();

43         vis[u]=0;

44         for(i=0;i<p[u].size();i++)

45         {

46             node b=p[u][i];

47             int v=b.u;

48           double t = -a[v] + mid*b.w;

49           if(dis[v]>t+dis[u])

50           {

51                tol[v]++;

52               dis[v]=t+dis[u];

53               if(tol[v]>=n)return true;

54               if(!vis[v])

55               {

56                   vis[v]=1;

57                   que.push(v);

58               }

59 

60           }

61 

62         }

63     }

64     return false ;

65 }

66 int main()

67 {

68     int i,x,y,z;

69     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

70     {

71         for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);

72         for(i=0;i<=n;i++)p[i].clear();

73 

74 

75         while(m--)

76         {

77             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

78             p[x].push_back(node(y,z));

79 

80         }

81         double l=0,r=2500,mid,ans=-1;

82         while(r-l>eps)

83         {

84             mid = (l+r)/2;

85             if(spfa(mid))

86             {

87                 ans=mid;

88                 l=mid;

89             }

90             else r=mid;

91         }

92         if(ans<-1)puts("0");

93         else printf("%.2lf\n",ans);

94 

95     }

96 }