数学照进现实——case1

之前看到过别人的一个励志鸡汤：

    请从0~1之间，选择任意一个小数，请记住这个小数。

    你知道吗，你选中这个小数的概率为0。

    但是，它发生了。

    所以，骚年，遇到困难，请不要放弃，即使概率为0，你也有可能做成这件事。

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乍一看，这个理论是没有问题的，0~1之间有无数个小数，所以选中任意一个小数的概率都是1/∞=0.

然而这个概率真的是这样吗？让我们来看两个问题。

第一个问题：在现实中我们真的能取到0~1之间的所有的小数吗？或者说，有哪种算法可以遍历所有的小数吗？

答案是肯定的：

    首先，我们可以遍历0.0~0.9。

    对于其中任意一个确定的数字a1，比如a=0.3，我们可以选择是否在之后延伸小数位，

        如果选择不延伸，那么得到的数字就是a=a1本身，即0.3

        如果选择延伸，那么从0~9之间选择一个数字，加到a这个小数后面（比如说是6）那么这个数字就是a2=0.36=a1+0.06

        此时我们可以继续选择，是否在之后延伸小数位

            如果选择不延伸，那么得到的数字就是a=a2，即0.36

            如果选择延伸，则重复上面的步骤。。。

            。。。

    按照上面的逻辑，我们可以有的选择有9*9*9*9*...*9+1种选择，这样的选择确实有无数个。

那么

第二个问题：每一个选择都是等概率的吗？

答案是否定的：

    我们会注意到，第一个答案中，每一次选择完数字后，都会面临另一个选择，是否要延伸，假设选择延伸的概率为p，然后如果要延伸的话，选择0-9之间任意一个数字的概率为0.1

    那么

        我们最终选择的数字是0.0~0.9的概率为0.1*（1-p）

        我们最终选择的数字是0.00~0.99(不包含0.0~0.9)的概率为0.1*p*0.1*（1-p）

        我们最终选择的数字是0.000~0.999(不包含0.00~0.99)的概率为0.1*p*0.1*p*0.1*（1-p）

        。。。

        我们最终选择N位小数的概率为0.1*（1-p）*（0.1*p）^（N-1）

    发现没有，我们选择1位小数的概率，是最大的，其次是2位的，其次是3位。。。随着位数的增加，这个小数被选中的概率在指数级衰减。

    在实际生活中，当N增大时，p会逐渐减小，那么这个小数被选中的概率会衰减得更快。

所以，如果你真的选中了一个数字，那么，这个数字被选中的概率，不等于0，这个概率的大小，和数字的长短有很大关系，越长越小，同时你要付出的选择成本也会更高。

这说明什么问题呢？

一件事情，要做成的概率越小，你需要付出的努力就越多！

但是，请相信，你每次多努力一点点，离成功的距离，就会缩小一大截。