1. 题型特点分析与求解通法
题目“若有f(x)+f((x-1)/x)=1+x，求抽象函数f(x)解析式”所代表的题型有什么特点呢？
1)f(x)为抽象函数，所以函数模型未知；
2)由于1)，类似f(x)、f((x-1)/x)等项求不出具体结果，只能整体看作一个未知元；
因此，求解这类题目，一般通过解方程(组）来实现。
而解方程组的基本思想就是消元，即抵消掉不需要的未知量，而留下所需未知量。由此，求抽象函数式的解析式，本质上就是利用消元法来解方程组——消去复合函数f(g(x))项，而留下f(x)项。
更一般地，若有已知函数f(x)满足af(x)+bf(g(x))=c，其中g(x)可以是除x本身之外的以x表示的任意多项式，而a、b和c均非抽象函数、也不含抽象函数因子，可以是以x表示的任意多项式或常数，求f(x)解析式？下面我们将详细地论述此题的求解方法。
① 首先，观察方程af(x)+bf(g(x))=c,由于f(x)函数模型未知，所以f(x)和f(g(x)是通过直接法或待定系数法去解出来，换句话说，f(x)和f(g(x)都是未知，即二者作为一个整体被看作两个未知数。
② 因此，af(x)+bf(g(x))=c可看作是含有两个未知数f(x)和f(g(x))的方程。而该方程的其它项与系数可看作该方程的常数或参数——即非未知数或非‘元’。
③ 根据解方程思想，二元一次方程需要两个方程才能解出未知数，所以还需要一个方程组，怎么得到呢？
由于是求解f(x)，所以被消元的必定是f(g(x))，因此目标很清晰——我们需要构造一个含f(g(x))的方程。
再次观察方程af(x)+bf(g(x))=c,把g(x)作为x的值代入该式，是最简单的构造出一个含f(g(x))的方程的方法——因任意g(x)替换f(x)中的x即得f(g(x))，即得：
af(g(x))+bf(g[g(x)])=c。
④ 联立该方程与原方程，即可消去f(g(x))而得到f(x)和f(g[g(x)])的方程。
⑤ 然后，根据f(g[g(x)])的不同情况：
(1)若由已知可把f(g[g(x)])变换为x的多项式或常数，则整理上一步所得方程既可得出f(x)的解析式。
(2)若由已知可把f(g[g(x)])变换为仅含未知数f(x)的多项式，则整理上一步所得方程也可得出f(x)的解析式。
(3)若f(g[g(x)])不是上述两种情形中的任意一种，则只需把f(g[g(x)])整体看作一个新的未知数，再回到步骤③，重复步骤③-⑤……直至出现本步骤(1)或（2）情形，即完成解答。
总之，由于af(x)+bf(g(x))=c的一般性，上述解题思路可称为此类题型的一般方法（或通法），如图。
提示1：可能有些同学对上述论述还未完全理解和抓住其本质，也不用着急，可以先看懂例1，再回头来理解这个通法就没问题了。掌握了这个通法，这类题型对你来说已完全变成送分题了。
提示2：上述分析过程中把f(x)、f(g(x))等看作一个整体并作为方程的‘元’的思想,有时也适用于其它抽象函数问题。如求f(1)或f(-1)值时，若求不出f(x)解析式，可考虑把它们看作一个整体去解方程。
2. 典型示例
例1 设对满足x不等于0、x不等于1的所有实数x，函数f(x)满足f(x)+f((x-1)/x)=1+x,求f(x)的解析式____。
解：依题意，（提示：参照上述通法，理解并抓住此类问题的本质）
已知，f(x)+f((x-1)/x)=1+x， （1）
（提示：为了消去f((x-1)/x)，需再构造一个含f((x-1)/x)的方程）
把(x-1)/x作为x的值代入原式(即已知式)，得：
f((x-1)/x)+f(((x-1)/x-1)/((x-1)/x))=1+(x-1)/x
整理得：
f((x-1)/x)+f(-1/(x-1))=1+(x-1)/x, （2）
(提示：理解——上述几行的唯一目的就是得到一个含f((x-1)/x)的方程)
（1）-（2）得：
f(x) -f(-1/(x-1)) = 1+x – 1-(x-1)/x = x+1/x-1, （3）
（提示：注意，上述过程中多出了一个新的未知项f(-1/(x-1))。不用担心，再按上述方法消去既可！为了消去f(-1/(x-1))，需再构造一个含f(-1/(x-1))的方程）
把-1/(x-1)作为x的值代入原式，得：
f(-1/(x-1)) - f(1-1/[-1/(x-1))] = 1-1/(x-1)
整理得：
f(-1/(x-1))+f(x)= 1-1/(x-1), （4）
(提示：上式(4)没有新增抽象函数,而是出现了待求的f(x)，这意味着方程可解出来了。本题解答中做了两次代换才解出来了，一般一次代换既可；而三次以上的很少遇到——即使遇到了，只不过利用通法多代换几次而已)
讲解: （提示：待定系数法例题）
① 本题为前述抽象函数求解析式的求解通法的典型应用，详见上文的通法说明。
例6 已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f(x)-1/3×y^2×(2x-y+3)，求函数f（x）的表达式；
解：因为f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-1/3×y^2×(2x-y+3),
∴令y=x，代入可得f(0)= f(x)-1/3×x^2×(2x-x+3),
∴整理得：f（x）=x^3/3 + x^2 + 1。
讲解: （提示：特殊值法例题）
① 本题利用“特殊值法”，代入y=x后，巧妙、便捷地求出了解析式。
② 虽然这类题看上去刻意或人为的成分很重，但其解法体现的思维和思路在类似题型中仍具有广泛适用性。所以，要领会其要领——要仔细观察题目特征，包括代数式和已知条件，如本题代数式有两个未知数x和y（一般情形下求解时需要两个方程才能消元），同时又给出f(0)=1——仔细琢磨这两点之间的联系，不难想到令x-y=0即y=x即可消去y，而又已知f(0) = 1 = f(x-y)。所以，与其说这解法巧妙，还不如说出题人有意为之，由此我们逆袭思维，就知道这实际上暗示了解题的线索。
③ 虽然本题看上去与通法所应用的题型不同，但其实质是一样的：
1）已知式中f(x)、f(x-y)无法直接求出，所以原式等于多了两个未知数(加上x、y共四个)；
2）依题意，最终要得到f(x)的方程式，所以要把f(x-y)、含y的项处理掉。这里处理掉f(x-y)、含y的项的技巧也差不多，用x替换y既可。这么做的线索来自已知条件f(0)；
3）最后，解方程既可得到f(x)的解析式。
特别说明：“若有f(x)+f((x-1)/x)=1+x，求f(x)解析式”是在必修1第11讲的讲解中提到的题目（不是例题），有同学看到后问这道题该怎么做，所以特写此文详细解答一遍。此事也说明该同学学习态度很好，非常认真。若同学们平时学习遇到疑难问题包括测评或大考的错题，都可发消息给我或联系我，我每周会从中抽2-3道典型题予以详解并发表到公众号上。