什么是正态分布

正态分布，又称为高斯分布，是概率论与统计学中最重要的分布之一。它在自然界、社会科学以及工程领域中都有广泛的应用。正态分布的形状呈钟型曲线，两侧尾部逐渐衰减，呈对称性。在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，而且它们位于曲线的中心。

正态分布的概率密度函数可以表示为：

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2 / (2 * σ^2)))

其中，μ 是分布的均值，σ 是标准差，π 是圆周率，exp 是自然指数函数。这个函数描述了随机变量落在某个区间内的概率。

一个典型的例子是人类的身高。假设某国的成年男性的身高近似正态分布，均值为175厘米，标准差为5厘米。这意味着大多数人的身高会接近于均值，而离均值越远的身高出现的概率越低。

现在，让我们通过计算来了解一下这个分布。假设我们想知道身高在165厘米到185厘米之间的人的比例。我们可以使用正态分布的性质来估算这个比例。首先，我们计算出在这个区间内的标准化得分：

对于165厘米：

z = (165 - 175) / 5 = -2

对于185厘米：

z = (185 - 175) / 5 = 2

接下来，我们查找标准正态分布表，找到标准化得分为-2和2的概率分别是0.0228和0.9772。然后，我们计算在这个区间内的总概率：

P(165 < x < 185) = P(z < 2) - P(z < -2) = 0.9772 - 0.0228 ≈ 0.9544

因此，约有95.44%的成年男性身高在165厘米到185厘米之间。

除了身高，正态分布在金融、天气、生物学等领域也有广泛的应用。例如，股票价格的日收益率通常被假设为正态分布，气温的变化也可以用正态分布来模拟。正态分布的重要性不仅在于它的数学性质，还在于它能够描述自然界中许多现象的分布规律。