图论专题训练1-D(K步最短路,矩阵连乘)

题目链接

 

/*

 *题目大意：

 *求出从i到j,刚好经过k条边的最短路;

 *

 *矩阵乘法的应用之一(国家队论文):

 *矩阵乘法不满足交换律,矩阵乘法满足结合律;

 *给定一个有向图,问从A点恰好走k步(允许重复经过边)到达B点的方案数mod p的值;

 *把给定的图转为邻接矩阵,即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j;

 *令C=A*A,那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j),实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数(枚举k为中转点);

 *类似地,C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数;

 *同理,如果要求经过k步的路径数,只需要二分求出A^k即可;

 *

 *算法思想：

 *类似于快速幂的矩阵相乘的方法,只是把相乘部分改成floyd;

 *基于动态规划：d[i][j][k],表示点i到j有2^k条路径的最短路;

 *INF值很奇怪,各种数据都感觉不合适,换了很多次才过;

**/

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#include<cstdlib>

#include<queue>

#include<cstdio>

#include<climits>

#include<algorithm>

using namespace std;



const int MAXN=222;

const int MAXM=1111;

//const int INF=0xfffffff;

const int INF=999999999;



int f[MAXM];

int cnt;

int map[MAXN][MAXN];

int res[MAXN][MAXN],tmp[MAXN][MAXN];//res[i][j]表示i与j之间的最短路（之间有n条路），这个n是时刻变化的



int N,T,S,E;

void solve(int n)//就像快速幂的矩阵连乘，只是把相乘部分改成floyd

{

    while(n)

    {

        if(n%2)//n为奇数时,n=2^a+2^a+b,这里补上b步,后面计算2*2^a步;

        {

            for(int i=1; i<=cnt; i++)

                for(int j=1; j<=cnt; j++)

                    tmp[i][j]=INF;



            for(int k=1; k<=cnt; k++)

                for(int i=1; i<=cnt; i++)

                    for(int j=1; j<=cnt; j++)

                        if(tmp[i][j]>res[i][k]+map[k][j])

                            tmp[i][j]=res[i][k]+map[k][j];



            for(int i=1; i<=cnt; i++)

                for(int j=1; j<=cnt; j++)

                    res[i][j]=tmp[i][j];

        }



        for(int i=1; i<=cnt; i++)

            for(int j=1; j<=cnt; j++)

                tmp[i][j]=INF;

        for(int k=1; k<=cnt; k++)

            for(int i=1; i<=cnt; i++)

                for(int j=1; j<=cnt; j++)

                    if(tmp[i][j]>map[i][k]+map[k][j])

                        tmp[i][j]=map[i][k]+map[k][j];



        for(int i=1; i<=cnt; i++)

            for(int j=1; j<=cnt; j++)

                map[i][j]=tmp[i][j];



        n=n/2;

    }

    return;

}



int main()

{

    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);

    while(~scanf("%d%d%d%d",&N,&T,&S,&E))

    {

        for(int i=0; i<=MAXN; i++)

        {

            for(int j=0; j<=MAXN; j++)

                map[i][j]=INF,res[i][j]=INF;

            res[i][i]=0;

        }

        memset(f,0,sizeof(f));

        cnt=0;

        int u,v,w;

        for(int i=1; i<=T; i++)

        {

            scanf("%d%d%d",&w,&u,&v);

            if(f[u]==0)

            {

                cnt++;

                f[u]=cnt;

            }

            if(f[v]==0)

            {

                cnt++;

                f[v]=cnt;

            }

            map[f[u]][f[v]]=w;

            map[f[v]][f[u]]=w;

        }

        solve(N);

        printf("%d\n",res[f[S]][f[E]]);

    }

    return 0;

}