数学基础 -- 线性代数之行列式不变性推导

行列式不变性的推导

我们要证明：给矩阵的一行（或列）加上另一行（或列）的倍数，这种操作不会改变行列式的值。

问题描述

假设我们有一个矩阵 $A$，其大小为 $3\times 3$，如果我们将其第 1 行加上第 2 行的倍数，得到新的矩阵 $A^{\prime }$。我们需要证明矩阵 $A$ 的行列式和矩阵 $A^{\prime }$ 的行列式是相等的。

给定矩阵 $A$ 如下：
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​

我们构造一个新的矩阵 $A^{\prime }$，其中第 1 行变为原第 1 行加上第 2 行的 $k$ 倍：
A ′ = ( a 11 + k ⋅ a 21 a 12 + k ⋅ a 22 a 13 + k ⋅ a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A' = \begin{pmatrix} a_{11} + k \cdot a_{21} & a_{12} + k \cdot a_{22} & a_{13} + k \cdot a_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A′= ​a11​+k⋅a21​a21​a31​​a12​+k⋅a22​a22​a32​​a13​+k⋅a23​a23​a33​​ ​

行列式计算

矩阵 $A$ 的行列式计算如下：
$$\text{det}(A)=a_{11}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right)-a_{12}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right)+a_{13}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)$$

矩阵 $A^{\prime }$ 的行列式为：
$$\text{det}(A^{\prime })=(a_{11}+k\cdot a_{21})\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right)-(a_{12}+k\cdot a_{22})\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right)+(a_{13}+k\cdot a_{23})\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)$$

我们可以将这个展开式分成两部分：

1. 原矩阵 $A$ 的行列式部分：
   $$a_{11}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right)-a_{12}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right)+a_{13}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)$$
   这部分正是原矩阵 $A$ 的行列式，即 $\text{det}(A)$。

2. 由第 2 行的倍数带来的新项：
   $$k\cdot \left(a_{21}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right)-a_{22}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right)+a_{23}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)\right)$$
   这部分对应于矩阵中第 1 行和第 2 行相同的情况。根据行列式的性质，如果矩阵有两行相同，那么行列式为 0。因此，这一部分为 0。

结论

因此，矩阵 $A^{\prime }$ 的行列式为：
$$\text{det}(A^{\prime })=\text{det}(A)+0=\text{det}(A)$$
这证明了：给矩阵的一行加上另一行的倍数不会改变行列式的值。