数学基础 -- 线性代数之伴随矩阵

伴随矩阵

1. 代数余子式

首先我们需要理解什么是代数余子式。对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，代数余子式 $M_{ij}$ 是指从矩阵 $A$ 中删除第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩下的子矩阵的行列式。

假设有一个 $3\times 3$ 的矩阵：

A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} A= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​

其中，某个元素的代数余子式的计算方式如下：

• $M_{11}$：删除第1行和第1列后，矩阵变为：

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$$

其行列式为 $M_{11}=a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32}$。

特别注意：$M_{11}$是个标量，不是矩阵；

2. 代数余子式矩阵

将每个元素的代数余子式填入到对应的位置，可以得到矩阵 $A$ 的代数余子式矩阵。对于 $3\times 3$ 的矩阵 $A$，代数余子式矩阵为：

代数余子式矩阵 = ( M 11 M 12 M 13 M 21 M 22 M 23 M 31 M 32 M 33 ) \text{代数余子式矩阵} = \begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{pmatrix} 代数余子式矩阵= ​M11​M21​M31​​M12​M22​M32​​M13​M23​M33​​ ​

3. 伴随矩阵

伴随矩阵 是通过将代数余子式矩阵进行转置（即将行和列互换）得到的矩阵。代数余子式矩阵中的元素有时会带上符号，符号由位置的正负号决定。位置 $(i,j)$ 的符号为 $(-1{)}^{i+j}$。

以一个 $2\times 2$ 的矩阵为例：

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

这个矩阵的代数余子式矩阵是：

$$\left(\begin{array}{cc}d& c\\ b& a\end{array}\right)$$

根据位置符号，代数余子式矩阵变为：

$$\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

这就是矩阵 $A$ 的伴随矩阵。

4. 应用：求矩阵的逆

通过伴随矩阵，可以求出原矩阵的逆矩阵。逆矩阵 $A^{-1}$ 的计算公式为：

$$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\times \text{adj}(A)$$

其中 $\text{det}(A)$ 是矩阵 $A$ 的行列式，$\text{adj}(A)$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵。

总结

伴随矩阵的计算过程涉及以下几个步骤：

1. 计算原矩阵每个元素的代数余子式。
2. 构造代数余子式矩阵。
3. 将代数余子式矩阵转置得到伴随矩阵。

伴随矩阵在矩阵的逆运算中至关重要，是求解逆矩阵的关键步骤之一。