整数的划分问题

题目如下：

整数的分划问题。
如，对于正整数n=6，可以分划为：
6
5+1
4+2, 4+1+1
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1
现在的问题是，对于给定的正整数n,编写算法打印所有划分，并求出划分的总数。
用户从键盘输入 n （范围1~10）
程序输出该整数的所有划分。

注意，分划与顺序无关，例如5+1和1+5是同一种分划。另外，这个整数M本身也算
是一种分划。

解析：

该题中有两问：

1.求出划分的总数

　　设PC(M)为整数M的所有划分总数，则：

　　我们定义一个函数Partion(M,N)，表示整数M的“任何被加数都不超过N”的分划的数目。
　　Partion(M.N)有以下递归关系：
　　1)Partion(M,1)=1，表示当最大的被加数是1时，该整数M只有一种分划，即M个1相加；
　　2)Partion(1,N)=1，表示整数M=1只有一个分划，不管最大被加数的上限N是多大；
　　3)Partion(M,N)=Partion(M,M)，如果M<N。很明显，M的分划不可能包含大于M的被加数N；
　　4)Partion(M,M)=1+Partion(M,M-1)。等式的右边分为两部分：第一部分的1表示M只包含一个被
　　加数等于M本身的分划；第二部分表示M的所有其他分划的最大被加数N<=M-1，所以
　　其他分划的数目就是等式右边的第二项。
　　5)Partion(M,N)=Partion(M,N-1)+Partion(M-N,N)，如果M>N。等式右边的第一部分表示被加数中不包
　　含N的分划的数目；第二部分表示被加数中包含N的分划的数目，因为如果确定了一
　　个分划的被加数中包含N，则剩下的部分可以按照对M-N的分划进行划分。
　　上述五个递归关系式对Partion(M,N)作了递归定义。因为M的所有分划的数目PC(M)=Partion(M,
　　M)，所以上述关系式也定义了P(M)。

　　C++实现代码如下：

Partion

2.求出具体的划分结果

　　同样采用递归处理。借助一个长度为10的数组来存储中间值，len表示最大的那个数，相当于Partion(M,N)中的N，所有划分的数都不超过它。

View Code

PartionResult

 1 void PartionResult(int n, int m)
 2 {
 3     int i = 0; 
 4     if(n == 0)
 5     {
 6         cout << a[0];
 7         for(i = 1; i < m; i++)
 8         {
 9             cout << " + " << a[i];
10         }
11         if( m > len)
12         {
13             cout << endl;
14             len++;
15         }
16         else
17             cout << ", ";
18         return;
19     }
20     
21     for(i = n; i >= 1; i--)
22     {
23         if(m == 0 || i <= a[m - 1])
24         {
25             a[m] = i;
26             fun(n - i, m + 1);
27         }
28     }
29 }

 

注意：测试的时候最好用10以内的数字测试，因为划分的个数随划分数成指数增长。这里的存储中间值的数组只有10个字节。