由倒水问题引发出来的对于模线性方程与二元不定方程的思考

今天下课的时候，拿同学手机玩了会游戏，不过很巧，玩的是个倒水的游戏。具体是这样的，相信大家肯定都玩过：

给你两个已知容量的杯子，然后要求在某个杯子中得出指定容量的水。

1、两个杯子分别为7L和4L，然后要倒出一升的水：

求解这样的问题，其实就是求解二元不定方程：

7x+4y = 1

很容易解得 x = -1, y = 2。因为7和4互质，gcd(7,4) = 1，然后再用扩展欧几里得算法就可得到解，当然通解为：

x = -1+4t , y = 2-7t

2、让我们在把题目稍微改改，同样是7L和4L，不过要求倒出c升的水（c为正整数）：

对7x+4y = 1，我们可以变形为 7cx + 4cy = c，所以得到的x，y的解乘以c即可

于此，我想到了模线性方程 ax ≡ b (mod n)，其实我们可以很容易的发现二元不定方程与模线性方程之间的关系，实际上，模线性方程就是引入了modn的等价类，从而把二元不定方程的解控制在了n的范围内，这是很具有实际意义的，在算法中，我们可以利用周期性从而进行剪枝。

ax ≡ b (mod n) 等价于 ax + ny = b

同样ax + ny = b 等价于ax ≡ b (mod n)，也等价于nx ≡ b (mod a)，而我们在实际处理一个不定方程的时候，应该选取a还是n来做模数呢？我觉得这是有区别的，假设a > n，那么，当我们选取n作为模数时，可以将 x, y的解控制在n内，从而减小了查找的数据量，所以个人建议选取较小的一个数作为模数。

4、这里我又看到了一个非常有趣的推论：方程ax ≡ b (mod n)或者对模n有d个不同的解，其中d=gcd(a, n) ，或者无解。

对于这个定理，我们可以这么看，对于mod n 来说，如果该方程有解，并且我们把这个方程看成是（Zn, *n ）的一个群，那么a就可以构成一个子群，a也就是该子群的一个生成元，并且满足拉格朗日定理：即子群的阶是原群阶的约数，这里原群的阶就是n，子群的阶就是d。

当子群的阶为1的时候，即d为1时，即a和n互质，那么，对于该方程ax ≡ b (mod n)在mod n下必然就只有一个解。因为如果 x' 为mod n下的一个解，那么就有通解：x = x' + nt ，易得在mod n下必然只有一个解。

当子群的阶不为1时，那么我们首先同除以d，转化为 1 的情况，这里也就相当于对于一个长度为n的区间，分成了d段，然后对于通解 x = x' + nt，自然也就有了d个解。

从这里可以看出模线性方程与二元不定方程是有着很大的关系的，并且在两个方程之中，两个系数互质（即模线性方程中的a和n，以及二元不定方程中的a和b）非常重要。对于很多定理以及推论的理解有着很大的帮助。