拓扑排序、Dijkstra、Prim/Kruskal、全部最短路径/传递闭包

拓扑排序：

应用于DAG图。先遍历一遍（DFS、BFS），每个节点标记入度（in-degree）。入度 为0的节点，放入一个队列。

初始时，该队列中的元素都是第一批的点（不依赖于任何其他元素）；

之后，弹出该队列中所有元素，将其后继结点的入度减一，如果后继节点入度降为0，则放入该队列。

重复以上步骤，这样就分批次的标记上了依赖关系的排序。

单源最短路径Dijkstra：

是一个集合不断扩张和节点距离不断更新（减小）的过程，两个要点：如何更新节点的距离、如何选择下一个节点加入S。

初始时，集合S仅包含源点s，其他节点的到源点的距离Dist设为无穷。将当前节点curr设为s

之后，对当前节点s，如果s的某个邻居w不在S中（尚未访问），则尝试更新w的Dist

if w.Dist < curr.Dist + Dist(w, s); then

　　w.Dist = curr.Dist = Dist(w, s);

之后，选择所有(s, w)中w.Dist最小的节点，作为下一次的curr节点，重复，直到S包含所有节点。

Prim/Kruskal，最小生成树问题

Prim算法从节点入手，初始时，集合S仅包含节点v0；S中节点的邻边放入一个最小堆heap。

之后，每次从堆中弹出当前最短的边e，如果另一端w还不在S中，则e将是最小生成树的一条边，然后w加入S，w的邻边加入堆heap

重复直到S包含所有的节点。

Kruskal算法从边入手，初始时，所有的节点作为一个集合都是孤立的，所有的边按照边长排序。

遍历已经排序的边，如果该边可以连接原来分离的两个子集，则这个边将是最小生成树对的一条边。

可以用一个并查集来维护各个集合的关系。

全部最短路径/传递闭包

也称Warshall算法，就是一个三重for循环的naive算法。

for m = 1 to n; do

　　for x = 1 to n; do

　　　　for y = 1 to n; do

　　　　　　if weight(x, m) + weight(m, y) < weight(x, y); then

　　　　　　　　weight(x, y) = weight(x, m) + weight(m, y);