Hanoi Tower 汉诺塔问题

Hanoi Tower 汉诺塔问题
汉诺（Hanoi）塔问题：古代有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上（如图）。有一个和尚想把这64个盘子从A座移到B座，但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用B座，要求打印移动的步骤。

其实算法非常简单，当盘子的个数为n时，移动的次数应等于2^n – 1（有兴趣的可以自己证明试试看）。后来一位美国学者发现一种出人意料的简单方法，只要轮流进行两步操作就可以了。首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C；
若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。
（1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。
（2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。
（3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。
所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：
如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C
汉诺塔问题也是程序设计中的经典递归问题，下面我们将给出递归和非递归的不同实现源代码。

(一)算法次数：
H(1)=1，只有一个盘子时只需移一次。
H(n)=2*H(n-1)+1=2*2*(H(n-2))+2+1=2^k*H(n-k)+2^(k-1)+...+2+1
当k=n-1时
H(n)=2^(n-1)+2^(n-2)+...+2+1

然后求简化的式子，根据如下：
设S=2^0+2^1+2^2+……+2^n
则2S=2^1+2^2+……+2^(n+1)
所以S=2S-S=(2^1+2^2+……+2^(n+1))-(2^0+2^1+2^2+……+2^n)=2^(n+1)-2^0=2^(n+1)-1
也就是说:
H(n)=2^n -1

(二)递归算法：
以前老师是这样解释：大和尚只移最后一个小盘子，让二和尚移好其他的盘子；然后二和尚也只移一个盘子，让三和尚移好其他盘子，如此类推，每往下一个和尚，问题的规模都变小，到最后的小和尚只需移一个盘子即可。
参考别人的思路：
这个问题在盘子比较多的情况下，很难直接写出移动步骤。我们可以先分析盘子比较少的情况。假定盘子从大向小依次为：盘子1，盘子2，...，盘子64。

如果只有一个盘子，则不需要利用B座，直接将盘子从A移动到C。
如果有2个盘子，可以先将盘子1上的盘子2移动到B；将盘子1移动到c；将盘子2移动到c。这说明了：可以借助B将2个盘子从A移动到C，当然，也可以借助C将2个盘子从A移动到B。
如果有3个盘子，那么根据2个盘子的结论，可以借助c将盘子1上的两个盘子从A移动到B；将盘子1从A移动到C，A变成空座；借助A座，将B上的两个盘子移动到C。这说明：可以借助一个空座，将3个盘子从一个座移动到另一个。
如果有4个盘子，那么首先借助空座C，将盘子1上的三个盘子从A移动到B；将盘子1移动到C，A变成空座；借助空座A，将B座上的三个盘子移动到C。
上述的思路可以一直扩展到64个盘子的情况：可以借助空座C将盘子1上的63个盘子从A移动到B；将盘子1移动到C，A变成空座；借助空座A，将B座上的63个盘子移动到C。
归纳成递归公式，可以写成：

其中，Hanoi函数的第一个参数表示盘子的数量，第二个参数表示源座，第三个参数表示借用的座，第四个参数代表目的座。比如Hanoi(n-1,A,C,B)表示借助C座把n- 1个盘子从A座移动到B座。
Move函数的第一个参数表示源座，第二个参数代表目的座。Move函数的功能是将源座最上面的一个盘子移动到目的座上。
根据以上的分析，不难写出程序：

void Move(char chSour, char chDest)

{

/*打印移动步骤*/

printf("\nMove the top plate of %c to %c",chSour, chDest);

}

Hanoi(int n, char chA, char chB, char chC)

{

/*检查当前的盘子数量是否为1*/

if(n==1) /*盘子数量为1，打印结果后，不再继续进行递归*/

Move(chA,chC);

else/*盘子数量大于1，继续进行递归过程*/

{

Hanoi(n-1,chA,chC,chB);

Move(chA,chC);

Hanoi(n-1,chB,chA,chC);

}

}

main()

{

int n;

/*输入盘子的数量*/

printf("\nPlease input number of the plates: ");

scanf("%d",&n);

printf("\nMoving %d plates from A to C:",n); 

/*调用函数计算，并打印输出结果*/

Hanoi(n,'A','B','C');

}

一般会简化成如下：

#include<stdio.h>

int count = 0;  //The total movement.

void hanoi(int n,char A,char B,char C)

{

    count++;

    if(n==1)

    {

        printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,A,C);

    }

    else

    {

        hanoi(n-1,A,C,B);

        printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,A,C);

        hanoi(n-1,B,A,C);

    }

}

void main()

{

    int n; 

    printf("请输入数字n以解决n阶汉诺塔问题：\n");

    scanf("%d",&n);

    hanoi(n,'A','B','C');

} 

汉诺塔算法的非递归实现C++源代码：

#include <iostream>

using namespace std; 

//圆盘的个数最多为64 

const int MAX = 64; 

//用来表示每根柱子的信息

struct st{

      int s[MAX]; //柱子上的圆盘存储情况

      int top; //栈顶，用来最上面的圆盘

      char name; //柱子的名字，可以是A，B，C中的一个

      int Top()//取栈顶元素

      {

            return s[top];

      }

      int Pop()//出栈

      {

            return s[top--];

      }

      void Push(int x)//入栈

      {

            s[++top] = x;

      }

} ; 

long Pow(int x, int y); //计算x^y

void Creat(st ta[], int n); //给结构数组设置初值

void Hannuota(st ta[], long max); //移动汉诺塔的主要函数 

int main(void)

{

      int n;

      cin >> n; //输入圆盘的个数

      st ta[3]; //三根柱子的信息用结构数组存储

      Creat(ta, n); //给结构数组设置初值 

      long max = Pow(2, n) - 1;//动的次数应等于2^n - 1

      Hannuota(ta, max);//移动汉诺塔的主要函数 

      system("pause");

      return 0;

} 

void Creat(st ta[], int n)

{

      ta[0].name = 'A';

      ta[0].top = n-1;

     //把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上

      for (int i=0; i<n; i++)

            ta[0].s[i] = n - i;

      //柱子B，C上开始没有没有圆盘

      ta[1].top = ta[2].top = 0;

      for (int i=0; i<n; i++)

            ta[1].s[i] = ta[2].s[i] = 0;

     //若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C

      if (n%2 == 0)

      {

            ta[1].name = 'B';

            ta[2].name = 'C';

      }

      else  //若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B

      {

            ta[1].name = 'C';

            ta[2].name = 'B';

      }

} 

long Pow(int x, int y)

{

      long sum = 1;

      for (int i=0; i<y; i++)

            sum *= x; 

      return sum;

} 

void Hannuota(st ta[], long max)

{

  int k = 0; //累计移动的次数

  int i = 0;

  int ch;

  while (k < max)

  {

    //按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子

    ch = ta[i%3].Pop();

   ta[(i+1)%3].Push(ch);

   cout << ++k << ": " <<

         "Move disk " << ch << " from " << ta[i%3].name <<

         " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;

   i++;

   //把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上

   if (k < max)

   {     

    //把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都为空时，移动较小的圆盘

    if (ta[(i+1)%3].Top() == 0 ||

        ta[(i-1)%3].Top() > 0 &&

        ta[(i+1)%3].Top() > ta[(i-1)%3].Top())

   {

        ch =  ta[(i-1)%3].Pop();

        ta[(i+1)%3].Push(ch);

        cout << ++k << ": " << "Move disk "

             << ch << " from " << ta[(i-1)%3].name

             << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;

    }

    else

    {

       ch =  ta[(i+1)%3].Pop();

       ta[(i-1)%3].Push(ch);

       cout << ++k << ": " << "Move disk "

            << ch << " from " << ta[(i+1)%3].name

            << " to " << ta[(i-1)%3].name << endl;

    }

 }

}

}