最大连续子序列之和，最大连续子序列乘积

　　最大连续子序列之和问题描述为：数组中里有正数也有负数，连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和，求所有子数组的和的最大值。分析，对数组a进行一遍扫描，sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，MaxSum保存当前子数组中最大和，对于a[i+1]来说，sum[i+1] = sum[i]+a[i+1]，此时如果sum[i+1]<0，那么sum需要重新赋0，从i+1之后开始累加，如果sum[i+1]>0，那么MaxSum = max(MaxSum, Sum[i+1])。代码如下：

 1 int maxSum(int *nArray, int nSize, int &nBegin, int &nEnd)  2 {  3     int nSum = 0, nMaxSum = 0;  4     int nNewBegin = 0;    //记录新的开始下标
 5     nBegin = nEnd = 0;    //记录最大连续子数组和的起始于结束下标
 6     for(int i=0; i!=nSize; i++)  7  {  8  
 9         nSum += nArray[i]; 10         if(nSum >= nMaxSum) 11  { 12             nMaxSum = nSum; 13             nBegin = nNewBegin; 14             nEnd = i; 15  } 16         else if(nSum < 0) 17  { 18             nSum = 0; 19             nNewBegin = i+1; 20  } 21  } 22  
23     return nMaxSum; 24 } 25 
26 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 27 { 28     int Array[5] = {2, -3, 4, 5, -100}; 29     int nBegin = 0, nEnd = 0; 30     int nMaxSum = maxSum(Array, sizeof(Array)/sizeof(*Array), nBegin, nEnd); 31     cout<<nMaxSum<<endl; 32     cout<<"开始下标为["<<nBegin<<"], 结束下标["<<nEnd<<"]"<<endl; 33 
34     return 0; 35 }

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　　最大连续子序列乘积，问题描述和前面求最大连续子序列之和类似：给一个浮点数序列，取最大乘积连续子串的值。这里需要重点注意的是乘积需要注意正负号，需要考虑到有偶数个的情况，所以计算时，不止要保存当前最大乘积，也要保存当前最小乘积。代码如下：

 1 double maxProduct(double a[], int nLen, int &nBegin, int &nEnd)  2 {  3     int nNewBegin = 0;  4     nBegin = nEnd =0;  5 
 6     double dCurMax = 1.0f;  7     double dCurMin = 1.0f;  8     double dMax = 1.0f;  9     double dMin = 1.0f; 10     for(int i=0; i!=nLen; i++) 11  { 12         dCurMax *= a[i]; 13         dCurMin *= a[i]; 14         cout<<"dCurMax = "<<dCurMax<<", dCurMin = "<<dCurMin<<endl; 15         if(dCurMax > dMax) 16  { 17             dMax = dCurMax; 18             nBegin = nNewBegin; 19             nEnd = i; 20  } 21         if(dCurMin > dMax) 22  { 23             dMax = dCurMin; 24             nBegin = nNewBegin; 25             nEnd = i; 26  } 27         if(dCurMax < dMin) 28  { 29             dMin = dCurMax; 30  } 31         if(dCurMin < dMin) 32  { 33             dMin = dCurMin; 34  } 35 
36         if(dCurMax == 0 || dCurMin == 0) 37  { 38             dCurMax = dCurMin = 1; 39             nNewBegin = i+1; 40  } 41 
42         cout<<"dMax = "<<dMax<<", dMin = "<<dMin<<endl; 43         cout<<"begin = "<<nBegin<<", end = "<<nEnd<<endl; 44  } 45 
46     return dMax; 47 } 48 
49 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 50 { 51     double a[] = { -2.5, 4, 0, 3, 0.5, 8, -2, -2}; 52     int nBegin, nEnd; 53     int max = maxProduct(a, sizeof(a)/sizeof(*a), nBegin, nEnd); 54     cout<<max<<endl; 55     cout<<nBegin<<"  "<<nEnd<<endl; 56 
57     return 0; 58 }

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　　在网上看到使用动态规划的算法来处理此题目。假设从数组开头 i 到结尾 j 的范围，求出所有元素为结尾的子序列最大值，取其中最大的那个即为所求的最大连续子序列乘积。假设max(i, k)表示从数组 i 开始到 j 结束的范围内，包含 j 作为结尾的最大连续子序列乘积，注意不一定以 i 作为起始，问题可以概括为max = max(max(i, i), max(i, i+1), ……, max(a, k), ……., max(i, j)) 。那么对于max(i, k)后面的max(i, k+1)来说，会有如下几种情况：

1. max(i, k)和a[k+1]均为正数，且max(i, k)*a[k+1] > max(i, k)，那么有 max(i, k+1) = max(i, k) * a[k+1]
2. max(i, k)和a[k+1]一正一负，如果max(i, k)>0，a[k+1] < 0，那么乘积<0，而max(i, k+1)要包含a[k+1]，所以max(i, k+1) = a[k+1]，反之亦然
3. max(i, k)为正数，a[k+1]为负数，不过max(i, k)之前相连的序列里有负数，那么前面包含负数的这个序列，必然是一个前面序列的最小值，此时max(i, k+1) = min(i, k) * a[k+1]

　　概括起来，包含第k+1个元素为结尾的序列最大乘积应该取自上述三种情况之一：max(i, k+1) = max(max(i, k) * a[k+1],  a[k+1], min(i, k) * a[k+1])。

　　按照同样的道理，我们求得的包含k+1在内结尾的最小乘积序列为：min(i, k+1) = min(min(i, k) * a[k+1], a[k+1], max(i, k) * a[k+1])。

　　代码如下：

 1 int maxProduct_DP(double a[], int n)  2 {  3     double maxCur = 1.0f;  4     double minCur = 1.0f;  5     double maxTmp = maxCur;  6     double minTmp = minCur;  7     double result = 0.0f;  8 
 9     for(int i=0; i!=n; i++) 10  { 11         maxTmp = max(maxCur*a[i], max(a[i], minCur*a[i])); 12         minTmp = min(maxCur*a[i], min(a[i], minCur*a[i])); 13 
14         maxCur = maxTmp; 15         minCur = minTmp; 16 
17         result = max(result, maxCur); 18  } 19 
20     return result; 21 }