中国剩余定理
中国剩余定理是中国古代求解一次同余方程组的方法,是数论中的一个重要定理。
设m1,m2,m3,...,mk是两两互素的正整数,即gcd(mi,mj)=1,i!=j,i,j=1,2,3,...,k.
则同余方程组:
x = a1 (mod n1)
x = a2 (mod n2)
...
x = ak (mod nk)
模[n1,n2,...nk]有唯一解,即在[n1,n2,...,nk]的意义下,存在唯一的x,满足:
x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。
解可以写为这种形式:
x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)
其中N=n1*n2*...*nk,mi=N/ni,mi'为mi在模ni乘法下的逆元。
中国剩余定理非互质版
中国剩余定理求解同余方程要求模数两两互质,在非互质的时候其实也可以计算,这里采用的是合并方程的思想。下面是详细推导。
例
FZU1402 中国剩余定理
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef __int64 int64; int64 a[15],b[15]; int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y) { if(b==0) { x=1,y=0; return a; } int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y); int64 t = x; x = y; y = t - a/b*y; return d; } //求解模线性方程组x=ai(mod ni) int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n) { int i; int64 N = 1; int64 result = 0; for(i = 0; i < len; i++) N = N*n[i]; for(i = 0; i < len; i++) { int64 m = N/n[i]; int64 x,y; Extend_Euclid(m,n[i],x,y); x = (x%n[i]+n[i])%n[i]; result = (result + m*a[i]*x%N)%N; } return result; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]); printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a)); } return 0; }
POJ2891 非互质版
/** 中国剩余定理(不互质) */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef __int64 int64; int64 Mod; int64 gcd(int64 a, int64 b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y) { if(b==0) { x=1,y=0; return a; } int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y); int64 t = x; x = y; y = t - a/b*y; return d; } //a在模n乘法下的逆元,没有则返回-1 int64 inv(int64 a, int64 n) { int64 x,y; int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y); if(t != 1) return -1; return (x%n+n)%n; } //将两个方程合并为一个 bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3) { int64 d = gcd(n1,n2); int64 c = a2-a1; if(c%d) return false; c = (c%n2+n2)%n2; c /= d; n1 /= d; n2 /= d; c *= inv(n1,n2); c %= n2; c *= n1*d; c += a1; n3 = n1*n2*d; a3 = (c%n3+n3)%n3; return true; } //求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质 int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n) { int64 a1=a[0],n1=n[0]; int64 a2,n2; for(int i = 1; i < len; i++) { int64 aa,nn; a2 = a[i],n2=n[i]; if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn)) return -1; a1 = aa; n1 = nn; } Mod = n1; return (a1%n1+n1)%n1; } int64 a[1000],b[1000]; int main() { int i; int k; while(scanf("%d",&k)!=EOF) { for(i = 0; i < k; i++) scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]); printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a)); } return 0; }