九位不同数字乘法等式的递归与非递归回溯算法（一）

我以前发表的一篇论文：

九位不同数字乘法等式的递归与非递归回溯算法

白宇

(山西大同大学数学与计算机科学学院  大同  037009)

 

摘  要：本文对“九位不同数字构成乘法等式”的问题进行分析，设计了递归回溯算法和非递归回溯算法，给出NP问题穷举算法设计的一般思路，同时比较两种算法的特点，并进行实验测试．

关键词：穷举算法  递归回溯算法  非递归回溯算法  NP问题

中图分类号：O112;TP312      文献标识码：A    文章编号：1674-0874(2009)02-0000-00  

有如下题目：使用集合{1, 2, 3…9}组成形如X×Y=Z的乘法等式，要求在该等式中使用且仅使用集合中的全部数字一次，请列举出所有符合条件的等式．

1  算法分析

计算机算法设计通常采用数学分析或穷举方法，显然该问题属于NP^[1]问题，故采用数学分析算法求解非常困难，而穷举算法求解则成为普遍思路^[2]．实现穷举算法的具体方法有很多，诸如回溯、枚举、全排列等^[3]，本文仅设计、实现了递归与非递归回溯算法．

通过分析题目，首先穷举该集合的所有排列，然后从中找出可构成等式的排列．设9个数字分别为任意的且互不相同的a₁,a₂,a₃,…,a₉，所谓符合条件的等式其实是在排列：a ₁ a ₂ a ₃ a ₄ a ₅ a ₆ a ₇ a ₈ a ₉中找到可使等式成立的乘号、等号的位置，即确定两个因子的数字位数．若因子X为1位数字时，则因子Y一定为4位数字，积Z才可能为4位数字；若因子X为2位数字时，则因子Y一定为3位数字，积Z才可能为4位数字；其他情形中除了使用乘法交换率得到的两组等价表达不做统计外，剩余的因为其积均超出（例如3位数字乘3位数字，积至少为5位数字）或不足（例如2位数字乘2位数字，积至多为4位数字）等式要求，故不成立，即等式一定为以下两种情形：

     a₁×a ₂ a ₃ a ₄ a ₅=a ₆ a ₇ a ₈ a ₉         ⑴

     a ₁ a ₂×a ₃ a ₄ a ₅=a ₆ a ₇ a ₈ a ₉         ⑵

式⑴表示为：

(a₁×10⁰)×(a₂×10³+a₃×10²+a₄×10¹+a₅×10⁰)=

(a₆×10³+a₇×10²+a₈×10¹+a₉×10⁰)       ⑶

式⑵表示为：

(a₁×10¹+a₂×10⁰)+(a₃×10²+a₄×10¹+a₅×10⁰)=

(a₆×10³+a₇×10²+a₈×10¹+a₉×10⁰)        ⑷

因此，搜索符合条件的排列，即判定每一组排列能否使式⑶、⑷成立．

2  判定算法

建立一维数组r[1,…,9]，共9个元素，存放a₁,a₂,a₃,…,a₉构成的一组排列，下面的函数判定该排列是否符合要求．

type TArr=array[1..9] of integer;
function TestArr(var r:TArr):boolean;
var
  f1, f2, f3, f4, m:integer;
begin
  f1:= r[1];
  f2:= r[2]*1000+r[3]*100+r[4]*10+r[5];
  f3:= r[1]*10+r[2];
  f4:= r[3]*100+r[4]*10+r[5];
  m:= r[6]*1000+r[7]*100+r[8]*10+r[9];
  if f1 * f2 = m then
  begin
    OutResult(f1, f2);
    result:= true;
  end
  else if f3 * f4 = m then
  begin
    OutResult(f3, f4);
    result:= true;
  end
  else
    result:= false;
end;

函数TestArr测试数组r中存放的一组排列，如果此排列符合要求，则函数返回“真”，否则返回“假”．其中局部变量f1和f2表示式⑶中的两个因子，f3和f4表示式⑷中的两个因子，m表示式⑶及式⑷中相同的积．函数OutResult用来输出一组符合要求的排列，即一组解．

只要能穷举集合{1, 2, 3,…,9}的所有排列，然后将每一组排列送入判定算法验证是否符合要求，问题便得解．因此，下文将讨论实现穷举该集合所有排列的两种算法．

（未完待续……）

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