动态规划---矩阵连乘问题

动态规划---矩阵连乘问题

以下内容参考（摘抄）《算法设计与分析》，王晓东编著，清华大学出版社2003年1月第1版。

给定n个矩阵{A₁,A₂,…,A_n}，其中A_i与A_i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A₁A₂…A_n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法（有改进的方法，这里不考虑）计算出矩阵连乘积。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。

矩阵连乘积的计算次序不同，计算量也不同，举例如下：

先考察3个矩阵{A₁,A₂,A₃}连乘，设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。若按（（A₁A₂）A₃）方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，若按（A₁（A₂A₃））方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。

#include<iostream>
using namespace std;
#define INF 66535
#define MAX 100
int c[MAX];
int n;
int m[MAX][MAX];
int s[MAX][MAX];
int matrixChain(int p[],int n)
{
    int i,j,l,q;
    for(i=1;i<=n;i++)
        m[i][i]=0;
    for(l=2;l<=n;l++)
    {
        for(i=1;i<=n-l+1;i++)
        {
            j=i+l-1;
            m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
            s[i][j]=i;
            for(int k=i;k<=j-1;k++)
            {
                q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(q<m[i][j])
                {
                    m[i][j]=q;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    return m[1][n];//为最小值了，
}
void print_parens(int i,int j)
{
    if(i==j)
        cout<<"A"<<i;
    else
    {
        cout<<"(";
        print_parens(i,s[i][j]);
        print_parens(s[i][j]+1,j);
        //cout<<"(A"<<i<<","<<" A)"<<j;
        cout<<")";
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        cin>>c[i];
    int min=matrixChain(c,n);
    print_parens(1,n);
    cout<<endl<<min<<endl;
    return 0;

}