0023算法笔记——【贪心算法】哈夫曼编码问题

    1、问题描述

      哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%～90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0，1串表示各字符的最优表示方式。一个包含100,000个字符的文件，各字符出现频率不同，如下表所示。

    有多种方式表示文件中的信息，若用0,1码表示字符的方法，即每个字符用唯一的一个0,1串表示。若采用定长编码表示，则需要3位表示一个字符，整个文件编码需要300,000位；若采用变长编码表示，给频率高的字符较短的编码；频率低的字符较长的编码，达到整体编码减少的目的，则整个文件编码需要（45×1+13×3+12×3+16×3+9×4+5×4）×1000=224,000位，由此可见，变长码比定长码方案好，总码长减小约25%。

     前缀码：对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。编码的前缀性质可以使译码方法非常简单；例如001011101可以唯一的分解为0,0,101,1101，因而其译码为aabe。

     译码过程需要方便的取出编码的前缀，因此需要表示前缀码的合适的数据结构。为此，可以用二叉树作为前缀码的数据结构：树叶表示给定字符；从树根到树叶的路径当作该字符的前缀码；代码中每一位的0或1分别作为指示某节点到左儿子或右儿子的“路标”。

     从上图可以看出，表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树，即树中任意节点都有2个儿子。图a表示定长编码方案不是最优的，其编码的二叉树不是一棵完全二叉树。在一般情况下，若C是编码字符集，表示其最优前缀码的二叉树中恰有|C|个叶子。每个叶子对应于字符集中的一个字符，该二叉树有|C|-1个内部节点。

     给定编码字符集C及频率分布f,即C中任一字符c以频率f(c)在数据文件中出现。C的一个前缀码编码方案对应于一棵二叉树T。字符c在树T中的深度记为dT(c)。dT(c)也是字符c的前缀码长。则平均码长定义为：使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为C的最优前缀码。     

     2、构造哈弗曼编码

     哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。其构造步骤如下：

     (1)哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。

     (2)算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。

     (3)假设编码字符集中每一字符c的频率是f(c)。以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。

      构造过程如图所示：

     具体代码实现如下：

     (1)4d4.cpp，程序主文件

//4d4 贪心算法 哈夫曼算法
#include "stdafx.h"
#include "BinaryTree.h"
#include "MinHeap.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int N = 6;

template<class Type> class Huffman;

template<class Type> 
BinaryTree<int> HuffmanTree(Type f[],int n);

template<class Type> 
class Huffman
{
	friend BinaryTree<int> HuffmanTree(Type[],int);
	public:
		operator Type() const 
		{
			return weight;
		}
	//private:
		BinaryTree<int> tree;
		Type weight;
};

int main()
{
	char c[] = {'0','a','b','c','d','e','f'};
	int f[] = {0,45,13,12,16,9,5};//下标从1开始
	BinaryTree<int> t = HuffmanTree(f,N);

	cout<<"各字符出现的对应频率分别为："<<endl;
	for(int i=1; i<=N; i++)
	{
		cout<<c[i]<<":"<<f[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;

	cout<<"生成二叉树的前序遍历结果为："<<endl;
	t.Pre_Order();
	cout<<endl;

	cout<<"生成二叉树的中序遍历结果为："<<endl;
	t.In_Order();
	cout<<endl;

	t.DestroyTree();
	return 0;
}

template<class Type>
BinaryTree<int> HuffmanTree(Type f[],int n)
{
	//生成单节点树
	Huffman<Type> *w = new Huffman<Type>[n+1];
	BinaryTree<int> z,zero;

	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		z.MakeTree(i,zero,zero);
		w[i].weight = f[i];
		w[i].tree = z;
	}

	//建优先队列
	MinHeap<Huffman<Type>> Q(n);
	for(int i=1; i<=n; i++) Q.Insert(w[i]);

	//反复合并最小频率树
	Huffman<Type> x,y;
	for(int i=1; i<n; i++)
	{
		x = Q.RemoveMin();
		y = Q.RemoveMin();
		z.MakeTree(0,x.tree,y.tree);
		x.weight += y.weight;
		x.tree = z;
		Q.Insert(x);
	}

	x = Q.RemoveMin();

	delete[] w;

	return x.tree;
}

     (2)BinaryTree.h 二叉树实现

#include<iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct BTNode
{
	T data;
	BTNode<T> *lChild,*rChild;

	BTNode()
	{
		lChild=rChild=NULL;
	}

	BTNode(const T &val,BTNode<T> *Childl=NULL,BTNode<T> *Childr=NULL)
	{
		data=val;
		lChild=Childl;
		rChild=Childr;
	}

	BTNode<T>* CopyTree()
	{
		BTNode<T> *nl,*nr,*nn;

		if(&data==NULL)
		return NULL;

		nl=lChild->CopyTree();
		nr=rChild->CopyTree();

		nn=new BTNode<T>(data,nl,nr);
		return nn;
	}
};


template<class T>
class BinaryTree
{
	public:
		BTNode<T> *root;
		BinaryTree();
		~BinaryTree();

		void Pre_Order();
		void In_Order();
		void Post_Order();

		int TreeHeight()const;
		int TreeNodeCount()const;

		void DestroyTree();
		void MakeTree(T pData,BinaryTree<T> leftTree,BinaryTree<T> rightTree);
		void Change(BTNode<T> *r);

	private:
		void Destroy(BTNode<T> *&r);
		void PreOrder(BTNode<T> *r);
		void InOrder(BTNode<T> *r);
		void PostOrder(BTNode<T> *r);

		int Height(const BTNode<T> *r)const;
		int NodeCount(const BTNode<T> *r)const;
};

template<class T>
BinaryTree<T>::BinaryTree()
{
	root=NULL;
}

template<class T>
BinaryTree<T>::~BinaryTree()
{
	
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::Pre_Order()
{
	PreOrder(root);
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::In_Order()
{
	InOrder(root);
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::Post_Order()
{
	PostOrder(root);
}

template<class T>
int BinaryTree<T>::TreeHeight()const
{
	return Height(root);
}

template<class T>
int BinaryTree<T>::TreeNodeCount()const
{
	return NodeCount(root);
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::DestroyTree()
{
	Destroy(root);
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::PreOrder(BTNode<T> *r)
{
	if(r!=NULL)
	{
		cout<<r->data<<' ';
		PreOrder(r->lChild);
		PreOrder(r->rChild);
	}
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::InOrder(BTNode<T> *r)
{
	if(r!=NULL)
	{
		InOrder(r->lChild);
		cout<<r->data<<' ';
		InOrder(r->rChild);
	}
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::PostOrder(BTNode<T> *r)
{
	if(r!=NULL)
	{
		PostOrder(r->lChild);
		PostOrder(r->rChild);
		cout<<r->data<<' ';
	}
}

template<class T>
int BinaryTree<T>::NodeCount(const BTNode<T> *r)const
{
	if(r==NULL)
		return 0;
	else
		return 1+NodeCount(r->lChild)+NodeCount(r->rChild);
}

template<class T>
int BinaryTree<T>::Height(const BTNode<T> *r)const
{
	if(r==NULL)
		return 0;
	else
	{
		int lh,rh;
		lh=Height(r->lChild);
		rh=Height(r->rChild);
		return 1+(lh>rh?lh:rh);
	}
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::Destroy(BTNode<T> *&r)
{
	if(r!=NULL)
	{
		Destroy(r->lChild);
		Destroy(r->rChild);
		delete r;
		r=NULL;
	}
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::Change(BTNode<T> *r)//将二叉树bt所有结点的左右子树交换
{
	BTNode<T> *p;
	if(r){ 
		p=r->lChild;
		r->lChild=r->rChild;
		r->rChild=p; //左右子女交换
		Change(r->lChild);  //交换左子树上所有结点的左右子树
		Change(r->rChild);  //交换右子树上所有结点的左右子树
	}
}

template<class T>
void BinaryTree<T>::MakeTree(T pData,BinaryTree<T> leftTree,BinaryTree<T> rightTree)
{
	root = new BTNode<T>();
	root->data = pData;
	root->lChild = leftTree.root;
	root->rChild = rightTree.root;
}

     (3)MinHeap.h 最小堆实现

#include <iostream>
using namespace std;
template<class T>
class MinHeap
{
	private:
		T *heap; //元素数组，0号位置也储存元素
		int CurrentSize; //目前元素个数
		int MaxSize; //可容纳的最多元素个数

		void FilterDown(const int start,const int end); //自上往下调整，使关键字小的节点在上
		void FilterUp(int start); //自下往上调整

	public:
		MinHeap(int n=1000);
		~MinHeap();
		bool Insert(const T &x); //插入元素

		T RemoveMin(); //删除最小元素
		T GetMin(); //取最小元素

		bool IsEmpty() const;
		bool IsFull() const;
		void Clear();
};

template<class T>
MinHeap<T>::MinHeap(int n)
{
	MaxSize=n;
	heap=new T[MaxSize];
	CurrentSize=0;
}

template<class T>
MinHeap<T>::~MinHeap()
{
	delete []heap;
}

template<class T>
void MinHeap<T>::FilterUp(int start) //自下往上调整
{
	int j=start,i=(j-1)/2; //i指向j的双亲节点
	T temp=heap[j];

	while(j>0)
	{
		if(heap[i]<=temp)
			break;
		else
		{
			heap[j]=heap[i];
			j=i;
			i=(i-1)/2;
		}
	}
	heap[j]=temp;
}

template<class T>
void MinHeap<T>::FilterDown(const int start,const int end) //自上往下调整，使关键字小的节点在上
{
	int i=start,j=2*i+1;
	T temp=heap[i];
	while(j<=end)
	{
		if( (j<end) && (heap[j]>heap[j+1]) )
			j++;
		if(temp<=heap[j])
			break;
		else
		{
			heap[i]=heap[j];
			i=j;
			j=2*j+1;
		}
	}
	heap[i]=temp;
}

template<class T>
bool MinHeap<T>::Insert(const T &x)
{
	if(CurrentSize==MaxSize)
		return false;

	heap[CurrentSize]=x;
	FilterUp(CurrentSize);

	CurrentSize++;
	return true;
}

template<class T>
T MinHeap<T>::RemoveMin( )
{
	T x=heap[0];
	heap[0]=heap[CurrentSize-1];

	CurrentSize--;
	FilterDown(0,CurrentSize-1); //调整新的根节点

	return x;
}

template<class T>
T MinHeap<T>::GetMin()
{
	return heap[0];
}

template<class T>
bool MinHeap<T>::IsEmpty() const
{
	return CurrentSize==0;
}

template<class T>
bool MinHeap<T>::IsFull() const
{
	return CurrentSize==MaxSize;
}

template<class T>
void MinHeap<T>::Clear()
{
	CurrentSize=0;
}

     3、贪心选择性质

     二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码，证明可以对T作适当修改后得到一棵新的二叉树T”，在T”中x和y是最深叶子且为兄弟，同时T”表示的前缀码也是C的最优前缀码。设b和c是二叉树T的最深叶子，且为兄弟。设f(b)<=f(c)，f(x)<=f(y)。由于x和y是C中具有最小频率的两个字符，有f(x)<=f(b)，f(y)<=f(c)。首先，在树T中交换叶子b和x的位置得到T'，然后再树T'中交换叶子c和y的位置，得到树T''。如图所示：

    由此可知，树T和T'的前缀码的平均码长之差为：

     因此，T''表示的前缀码也是最优前缀码，且x,y具有相同的码长，同时，仅最优一位编码不同。

     4、最优子结构性质

     二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码，x和y是树T中的两个叶子且为兄弟，z是它们的父亲。若将z当作是具有频率f(z)=f(x)+f(y)的字符，则树T’=T-{x,y}表示字符集C’=C-{x, y} ∪ { z}的一个最优前缀码。因此，有：

     如果T’不是C’的最优前缀码，假定T”是C’的最优前缀码，那么有，显然T”’是比T更优的前缀码，跟前提矛盾！故T'所表示的C'的前缀码是最优的。

     由贪心选择性质和最优子结构性质可以推出哈夫曼算法是正确的，即HuffmanTree产生的一棵最优前缀编码树。

     程序运行结果如图：