TopCoder SRM470 & SRM441 题解

最近在做TopCoder模拟赛……就是找原来的SRM按照TC的规则去做……

SRM470

250pts：一排房间标号为0~N。A和B分别在0和N号房间。相邻房间有门隔开，每扇门都有一个1~16的颜色。双方轮流选一种颜色然后打开所有选定颜色的门，A先手。有一个房间是目标房间，先到者胜，如果同时到达则平。问双方在必胜策略下A是否能赢，以及最少操作次数。

分析：比较直观的做法就是状压DP，用一个二进制数表示哪些颜色已经被选了，先处理出所有必胜、必败和平手态，然后转移。但事实上是可以贪心的。如果A要获胜那么就要把0~目标之间的门全部打开，令这些门的颜色构成的集合为S，那么A肯定只会选S中的元素；类似的B也会选择自己的集合T。同时为了放置对方获胜，A会尽量选S and !T中的元素，B会尽量选T and !S中的元素。按这个策略贪心即可。

500pts：有两排点，每排N个，从左到右编为1~N。要在上下的点之间连线，每个点只能与一个点连线。现在给定已经连好了的K条线，求期望的线段交点数。

分析：构造数列A，对于上排点x连向下排点y的线段，令A[x]=y，不难发现所求即数列的期望逆序对数。假设K=0，那么期望为N(N-1)/4（共N(N-1)/2对数对，每对顺序相反的概率为0.5）。那么将期望的贡献分为三部分：

1、确定的K个数之间构成的逆序对。这部分贡献在任何情况下都是存在的；

2、未确定的(N-K)个数之间构成的逆序对。可以用上面的公式直接计算；

2、确定的与未确定的数之间构成的逆序对。枚举每个已确定的数x，考虑每个未确定的数y。如果y>x，只有y在x前面才会产生贡献；y<x同理。y在x的方案数为x前面空位数*(N-K-1)!，贡献即空位数/(N-K)。统计大于和小于每个已确定数的未确定数个数，然后求和即可。

总期望即上述三项之和。

1000pts：在N*N的网格图上有至多4对城市，以及一些障碍。每类障碍四连通，摧毁需要固定代价。现在要连接每对城市，路径上的障碍都要被摧毁，求最小代价。

分析：如果只有一对城市那么答案就是最短路。多对城市与一对城市的不同就在于多条路径可以合并，合并的路径上代价只算一次。那么考虑DP，用f[i][j]表示代价，其中i为一个节点，j为一个二进制数，表示这些点发出的路径已经合并。每次从相邻节点转移，考虑是在当前节点合并还是已经在之前就完成了合并。

事实上这个问题所求的是一个最小代价斯坦纳树森林。状态压缩也可以理解为将哪几对点划到一棵树。

SRM441：

250pts：定义一个排列A的子排列B为：B[0]=0, B[i]=A[B[i - 1]]。如果一个排列的子排列也是一个排列，则称该排列为完美排列。给定排列P，求至少需要修改P的几位，使得P成为完美排列。

分析：如果把A看做一个置换，不难发现B中的元素实际上就是A中元素0所在的循环中的元素。一个排列为完美排列也即该置换只有一个循环。那么需要修改的位数也即置换中循环的个数。注意特判只有一个循环的情况。

500pts：给定一个无向图G，现在定义一种变换操作：选择四个点A、B、C和D，其中A与B、C与D有连边，其他点对之间没有连边。删去A-B、C-D，连上A-C、B-D，或者连上A-D、B-C。问能否通过这种操作使得G成为连通图，并求出最小操作次数。

分析：我们考虑什么时候可以进行操作。可以发现，如果一个连通块的边数≥点数（即不是一棵树），那么它可以和另一个连通块进行操作，操作完成之后两个连通块合为一个连通块。那么可以构造如下算法：首先找出所有连通块，求出其点数和边数。如果存在边数=点数-1的连通块，就向其他连通块合并。一直合并直到没有边数=点数-1的连通块，或者仍然有这种连通块但是无法再合并（即无解）。记已进行的操作数为x，那么答案即x+剩余连通块数-1。注意特判图中存在孤立点的情况（无解）。

1000pts：有一张被划分成H*W块的白纸，进行K次操作。每次沿着一条竖直的网格线折叠，然后再水平地折叠成均等的c份（折c-1次）。此时选择一个矩形区域染色，颜料会透过标程渗透到折叠的每一层。染色之后展开。如此进行K次操作，每次操作折叠的网格线、c值和染色区域都可能不同。求所有操作完成后还有几个格子没有染色。c≤1000、K≤50，H、W很大。

分析：每次染色最多新增2000个矩形，那么一共最多有10w个。用线段树做矩形面积并即可。