hdoj 4971 A simple brute force problem. 【最大权闭合图 --> 最小割】

题目：hdoj 4971 A simple brute force problem. 

题意：给出 n 个任务和 m 项技术，完成某个任务需要其中几项技术，完成某个任务有奖金，学习某个技术需要钱，技术之间有父子关系，某项技术可能需要先学习其他技术，然后问你选择做那些任务获得收益最大？

分析：

一些相关定义：

闭合图：图中所有顶点的出边所指向的 所有顶点全部 在该图中，称为闭合图。（即图中点的后继点都在图中，这个网上定义比较少）

最大权闭合图：点权和最大的闭合图，即每个顶点都有一个权值，有可能为负值，求闭合图的一个子闭合图使其权值最大。

网上比较经典的一个问题是：太空飞行计划问题，大家可以自行问度娘，其实意思就跟上面的题意黑体字一样。

最大权闭合图解法：网络流

设置一个超级源点 S 连接所有正权值点

流量为正权值，所有负权值连接超级汇点 T ，

容量为负权值绝对值，然后在正权值和负权值之间有边的则建边，容量为无穷大，，

然后最大闭合权 = 正权值和 - 最小割（最大流）

看了上面的定义是不是感觉很简单了，看题意的黑体字部分，就是一个标准的闭合权问题，这个题目的关键忽悠点在于技术之间的关系，导致很多人想到了dp以及树形dp。

其实就是一个闭合权问题模板，官方题解说如果技术之间存在相互的关系需要缩点，其实不用缩点也可以过，就是在有关系的点之间在建边容量为无穷大。

AC代码：46ms

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
const int N = 200;
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
#define Del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
struct Node
{
    int from,to,cap,flow;
};
vector <int> v[N];
vector<Node> e;
int vis[N],cur[N];
void add_Node(int from,int to,int cap)
{
    e.push_back((Node){from,to,cap,0});
    e.push_back((Node){to,from,0,0});
    int tmp=e.size();
    v[from].push_back(tmp-2);
    v[to].push_back(tmp-1);
}
bool bfs(int s,int t)
{
    Del(vis,-1);
    queue<int> q;
    q.push(s);
    vis[s] = 0;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<v[x].size();i++)
        {
            Node tmp = e[v[x][i]];
            if(vis[tmp.to]<0 && tmp.cap>tmp.flow)  //第二个条件保证
            {
                vis[tmp.to]=vis[x]+1;
                q.push(tmp.to);
            }
        }
    }
    if(vis[t]>0)
        return true;
    return false;
}
int dfs(int o,int f,int t)
{
    if(o==t || f==0)  //优化
        return f;
    int a = 0,ans=0;
    for(int &i=cur[o];i<v[o].size();i++) //注意前面 ’&‘,很重要的优化
    {
        Node &tmp = e[v[o][i]];
        if(vis[tmp.to]==(vis[o]+1) && (a = dfs(tmp.to,min(f,tmp.cap-tmp.flow),t))>0)
        {
            tmp.flow+=a;
            e[v[o][i]^1].flow-=a; //存图方式
            ans+=a;
            f-=a;
            if(f==0)  //注意优化
                break;
        }
    }
    return ans;  //优化
}

int dinci(int s,int t)
{
    int ans=0;
    while(bfs(s,t))
    {
        Del(cur,0);
        int tm=dfs(s,inf,t);
        ans+=tm;
    }
    return ans;
} void v_clear(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
        v[i].clear();
    e.clear();
}
int main()
{
    //freopen("Input.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        int n,m,sum=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int s=0,t=n+m+1,x;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&x),add_Node(s,i,x),sum+=x;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            scanf("%d",&x),add_Node(n+i,t,x);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            while(x--)
            {
                int tmp;
                scanf("%d",&tmp);
                add_Node(i,n+tmp+1,inf);
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                scanf("%d",&x);
                if(x)
                    add_Node(n+i,n+j,inf);
            }
        }
        printf("Case #%d: %d\n",cas,sum-dinci(s,t));
        v_clear(t);
    }
    return 0;
}