整数拆分问题

整数拆分问题

    给定一个整数n，要找出n能拆分成多少种不同的若干个数的和与乘积的形式。比如：
    4=4                   12=1*12
    4=1+3               12=2*6
    4=2+2               12=3*4
    4=1+1+2           12=2*2*3
    4=1+1+1+1
    先看加法形式，可以构造一个母函数F(x)=(1+x+x^2+...+x^n)(1+x^2+x^4+...+x^n)...(1+x^n)，将这个母函数展开后，求出每一个x^k前面的系数Ck，就是对应的整数K有多少种拆分的形式。

 1  #include  < iostream >
 2  using   namespace  std;
 3 
 4  const   int  MAXN  =   120 ;
 5  int  c1[MAXN + 1 ],c2[MAXN + 1 ];
 6 
 7  int  main(){
 8       int  i,j,k,n;
 9       for (i = 0 ;i <= MAXN;i ++ )
10          c1[i] = 1 ,c2[i] = 0 ;
11       for (i = 2 ;i <= MAXN;i ++ ){
12           for (j = 0 ;j <= MAXN;j ++ )
13               for (k = 0 ;k + j <= MAXN;k += i)
14                  c2[j + k] += c1[j];
15           for (j = 0 ;j <= MAXN;j ++ )
16              c1[j] = c2[j],c2[j] = 0 ;
17      }
18       while (cin >> n) cout << c1[n] << endl;
19       return   0 ;
20  }

    对于乘积的形式，设n=i*j，dp[n]为整数n拆分成乘积形式的个数，dp[n]=∑dp[i]=∑dp[j] (i∈{i : i*j=n}，j∈{j : i*j=n})，这就是这个问题的状态转移方程，具有动态规划问题的最有子结构性质。

 1  #include  < iostream >
 2  using   namespace  std;
 3 
 4  const   int  MAXN  =   200000 ;
 5  int  dp[MAXN + 1 ];
 6 
 7  int  main(){
 8       int  i,j,n;
 9       for (dp[ 1 ] = 1 ,i = 2 ;i <= MAXN;i ++ )
10           for (j = 1 ;i * j <= MAXN;j ++ )
11              dp[i * j] += dp[j];
12       while (cin >> n) cout << dp[n] << endl;
13       return   0 ;
14  }