线段树或树状数组求逆序数（附例题）

学习了博主：MyZee    , shengweison 的文章

                                                       线段树或树状数组求逆序数

假设给你一个序列 6 1 2 7 3 4 8 5，  首先我们先手算逆序数， 设逆序数为 N;

6的前面没有比他大的数 N +=0

1的前面有一个比他大的数 N+=1

2的前面有一个比他大的数 N+=1

7的前面没有比他大的数 N+=0

... 最后得到 N = 0 + 1 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 = 9

其实我们可用用线段树，或者树状数组模拟这个过程。 又因为线段树和树状数组的效率较高，所以可行

假设我们将 序列 6 1 2 7 3 4 8 5 存入数组num【】 中， num【1】=6 ， num【2】=1...

那么每次，我们可以将 num【i】 插入到 线段树或者树状数组中，并赋值为 1，

 我们求和sum，sum等于线段树中 1 到 num【i】的和 ， 那么这个 sum 表示的值就是当前比num【i】小的数量（包括它本身）；

而当前一共有 i 个数 ， 所以 当前 比num【i】大的数量就是 i - sum；

所以 我们统计所有的 i - sum ， 它们的和就是逆序数。 模拟了上面手算的过程。

【线段树的关键代码】

<pre name="code" class="cpp">int count=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
       Insert(1,num[i],num[i],1); //插入 num[i],并赋值1
       count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
}

【树状数组的关键代码】

long long  ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	add(N[i].id);
	ans+=(i-Sum(N[i].id));
}

当然，这里查询的数 的 id 都是默认从 1 到 N 的，如果 题目要求输入的数超过这个范围，就需要用到离散化，

这个在后面的题目会介绍到。

【这里先给一个求1~n的逆序数】

//线段树 求逆序数
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) (a<<1)|1
const int maxn = 51000;
int ans[maxn];
struct node{
	int num,l,r;
}tree[maxn<<2];
int n;
void Build(int m,int l, int r){
	tree[m].l=l;
	tree[m].r=r;
	if(tree[m].l==tree[m].r){
		tree[m].num=0;
		return ;
	}
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	Build(L(m),l,mid);
	Build(R(m),mid+1,r); //并不要回溯， 建立空树
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
	if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
		tree[m].num+=x; return ;
	}
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	if(r<=mid)
		Insert(L(m),l,r,x);
	else if(l>mid)
		Insert(R(m),l,r,x);
	else{
		Insert(L(m),l,mid,x);
		Insert(R(m),mid+1,r,x);
	}
	tree[m].num=tree[L(m)].num+tree[R(m)].num;
}
int Query(int m,int l,int r){
	if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r)
		return tree[m].num;
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	if(r<=mid)
		return Query(L(m),l,r);
	if(l>mid)
		return Query(R(m),l,r);
	return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
	int a,n,i,t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int k=0;
		scanf("%d",&n);
		memset(tree,0,sizeof(tree));
		Build(1,1,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&ans[i]);
		}			
		for(int i=1;i<=n;i++){
			Insert(1,ans[i],ans[i],1);// 每个位置插入1
			k+=(i - Query(1,1,ans[i]));
		}
		printf("%d\n",k);
	}
	return 0;
}

HDU 1394求多个逆序数中的最小值

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) a<<1|1
using namespace std;
int n;
const int maxn = 5005;
int num[maxn];
struct node{
    int l,r,sum;
}tree[maxn<<2];
void Build(int m,int l,int r){
    tree[m].l=l; tree[m].r=r;
    if(tree[m].l==tree[m].r){ //如果当前节点的左右节点相同，即叶子节点
        tree[m].sum=0;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    Build(L(m),l,mid);
    Build(R(m),mid+1,r); 
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        tree[m].sum+=x;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    if(mid>=r) //这里是大于等于
        Insert(L(m),l,r,x);
    else if(mid<l)
        Insert(R(m),l,r,x);
    else{
        Insert(L(m),l,mid,x);
        Insert(R(m),mid+1,r,x);
    }
    tree[m].sum=tree[L(m)].sum+tree[R(m)].sum;
}
int Query(int m,int l,int r){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        return tree[m].sum;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    //这里和 Insert 一样
    if(mid>=r)
        return Query(L(m),l,r);
    if(mid<l)
        return Query(R(m),l,r);
    return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
    
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        Build(1,1,n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&num[i]);
            num[i]++;
        }
        int count=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            Insert(1,num[i],num[i],1);
            count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
        }
        int ans = count;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            num[i]--;
            count = count - num[i]*2 + n -1;
            if(count<ans)
                ans = count;
        }
         printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

NYOJ 117 求逆序数

这个需要用到离散化，

建立一个结构体包含val和id， val就是输入的数，id表示输入的顺序。然后按照val从小到大排序，如果val相等，那么就按照id排序。

如果没有逆序的话，肯定id是跟i（表示拍好后的顺序）一直一样的，如果有逆序数，那么有的i和id是不一样的。所以，利用树状数组的特性，我们可以简单的算出逆序数的个数。

如果还是不明白的话举个例子。（输入4个数）

输入：9 -1 18 5

输出 3.

输入之后对应的结构体就会变成这样

val：9 -1 18 5

id：  1  2  3  4

排好序之后就变成了

val ：  -1 5 9 18

id：      2 4  1  3

2 4 1 3 的逆序数 也是3

之后再利用树状数组的特性就可以解决问题了；

因为数字可能有重复， 所以添加操作不再单纯的置为1 ，而是 ++；

【源代码】

 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n;
const int maxn = 1000005;
struct node{
	int val,id;
}N[maxn];
int c[maxn];
int cmp(const node &a,const node& b ){
	if(a.val==b.val)
		return a.id<b.id;
	return a.val<b.val;
}
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
void add(int x){
	while(x<=n){
		c[x]++; //可能有重复，因为用++ 不用 = 1；
		x+=lowbit(x);
	}
	return;
}
int Sum(int x){
	int ans = 0;
	while(x>0){
		ans+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&N[i].val);
			N[i].id=i;
		}
		sort(N+1,N+n+1,cmp);//从 1 - n 排序 
		memset(c,0,sizeof(c)); //不要忘记初始化
		long long  ans=0; //用 int  会爆掉
		for(int i=1;i<=n;i++){
			add(N[i].id);
			ans+=(i-Sum(N[i].id));
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}