[转]LCA问题（含RMQ的ST算法）

[转]LCA问题（含RMQ的ST算法）

转自: http://www.cppblog.com/Icyflame/

一、定义与定理
      LCA：Least Common Ancestors（最近公共祖先），对于一棵有根树T的任意两个节点u，v，求出LCA(T, u, v)，即离跟最远的节点x，使得x同时是u和v的祖先。
      在线算法：用比较长的时间做预处理，但是等信息充足以后每次回答询问只需要用比较少的时间。
      离线算法：先把所有的询问读入，然后一起把所有询问回答完成。
      RMQ：给出一个数组A，回答询问RMQ(A, i, j)，即A[i...j]之间的最值的下标。
二、DFS+RMQ
      1）Sparse Table（ST）算法
      描述：

 1  // 初始化
 2  INIT_RMQ
 3  // max[i][j]中存的是重j开始的i个数据中的最大值，最小值类似，num中存有数组的值
 4       for  i :  1  to n
 5          max[ 0 ][i]  =  num[i]
 6       for  i :  1  to log(n) / log( 2 )
 7           for  j :  1  to n
 8              max[i][j]  =  MAX(max[i - 1 ][j], max[i - 1 ][j + 2 ^ (i - 1 )]
 9  // 查询
10  RMQ(i, j)
11      k  =  log(j - i + 1 )  /  log( 2 )
12       return  MAX(max[k][i], max[k][j - 2 ^ k + 1 ])

      分析：初始化过程实际上是一个动态规划的思想。易知，初始化过程效率是O(nlogn)，而查询过程效率是O(1)。ST是一个在线算法。
      示例：POJ 3368 解题报告
      2）求解LCA问题
      描述：
      （1）DFS：从树T的根开始，进行深度优先遍历，并记录下每次到达的顶点。第一个的结点是root(T)，每经过一条边都记录它的端点。由于每条边恰好经过2次，因此一共记录了2n-1个结点，用E[1, ... , 2n-1]来表示。
      （2）计算R：用R[i]表示E数组中第一个值为i的元素下标，即如果R[u] < R[v]时，DFS访问的顺序是E[R[u], R[u]+1, ..., R[v]]。虽然其中包含u的后代，但深度最小的还是u与v的公共祖先。
      （3）RMQ：当R[u] ≥ R[v]时，LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[v], R[u])；否则LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[u], R[v])，计算RMQ。
      由于RMQ中使用的ST算法是在线算法，所以这个算法也是在线算法。
      示例：ZOJ 3195 解题报告。
三、Tarjan算法
      描述：Tarjan算法是一个离线算法，也就是说只有先获得所有的查询，再按一个特定的顺序进行运算。

 1  // parent为并查集，FIND为并查集的查找操作
 2  Tarjan(u)
 3      visit[u]  =   true
 4       for  each (u, v)  in  QUERY
 5           if  visit[v]
 6              ans(u, v)  =  FIND(v)
 7       for  each (u, v)  in  TREE    
 8           if   ! visit[v]
 9              Tarjan(v)
10              parent[v]  =  u

       示例： HDOJ 2586 解题报告 。