两因素方差分析

1 两因素方差分析

1. 引子
   
   • 考虑如下两个变量的关系, 不同的种子和不同的肥料之间的关系
   • 设有三种不同的种子A,B,C, 肥料有四种 1,2,3,4
   • 将农田分为很多小块, 分别采用不同的种子和肥料, 考虑亩产量
   • 农作物设为小麦
   • 计算每单位农田产小麦的颗粒数还是重量？
2. 例- 火箭推进器和燃料问题
   

   一火箭采用4种燃料, 三种推进器做射程试验, 每种燃料与每种推进器的组合各发射两次, 得射程如下表所示

   燃料 / 推进器	B1	B2	B3
   A1	58.2	56.2	65.3
   	52.6	41.2	60.8
   A2	49.1	54.1	51.6
   	42.8	50.5	48.4
   A3	60.1	70.9	39.2
   	58.3	73.2	40.7
   A4	75.8	58.2	48.7
   	71.5	51.0	41.4

3. 模型分析
   
   • 这里试验指标是射程, 推进器和燃料是因素, 分别有3, 4个水平
   • 这是一个双因素的试验
   • 试验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有误显著的差别
4. 理论模型
   
   • 设有两个因素  A,B  作用于试验的指标,
   • 因素A有  r  个水平  A1,⋯,Ar  ,
   • 因素 B 有  s  个水平,  B1,⋯,Bs  .
   • 现对因素  A,B  的每对组合  (Ai,Bj)  进 行  t  次试验,所得的结果记为 Xijk,i=1,⋯,r,j=1⋯,s,k=1,⋯,t
   • 设  Xijk∼N(μij,σ2)  各  Xijk  相互独立
   • σ2  为未知方差
5. 理论分析
   
   • 设总体的全部平均值为  μ  , 则  μ  的估计为
     X¯...=1rst∑i=1r∑j=1s∑k=1rXijk
   • 设因素 A 取第  i  个水平  Ai  时, 数据的均值为  μi⋅  , 则  μi⋅  的估计为
     X¯i..=1rs∑j=1s∑k=1rXijk
   • 因素A 的第 i 个水平  μi⋅  相对于总体均值  μ  的提升(可能为负值) 为  αi=μi⋅−μ  的估计为  Xi⋅⋅−X¯⋯
6. 理论分析续
   
   • 欲检验 因素 A 的各个水平之间是否有显著差异, 可以考虑
     SSA=∑i=1rst(Xi⋅⋅−X¯⋯)2

     的大小, 作为度量标准

   • 另设 因素B取第 j 个水平时总体的均值为  μ⋅j  , 提升为  βj=μ⋅j−μ  , 估计值为  X¯⋅j⋅=1rt∑i=1r∑k=1tXijk
   • 欲检验 因素 B 的各个水平之间是否有显著差异, 可以考虑
     SSB=∑j=1srt(X⋅j⋅−X¯⋯)2

     的大小, 作为度量标准

7. 理论分析之误差平方和
   
   • 记误差平方和
     SSE=∑i=1r∑j=1s∑k=1t(Xijk−X¯ij⋅)2
   • 其中  X¯ij⋅=1t∑k=1tXijk
   • 可以证明  SSE/(rs(t−1))  为方差  σ2  的无偏估计
8. 检验统计量的构造
   
   • 利用单因素方差分析的思想, 可以考虑
     FA=SSA/(r−1)SSE/(rs(t−1))

     作为检验统计量

   • 可以证明当  αi=μi⋅−μ=0,∀i=1,⋯,r  时, 有
     FA∼F(r−1,rs(t−1))
   • 关于因素B的效应可以类似处理
9. 因素A和因素B之间有无交互作用
   
   • 设两者之间没有关系, 此时  μij  可以看做是在均值  μ  的基 础上有两次提升即  μ+(μi⋅−μ)+(μ⋅j−μ)
   • 两者的差异  μij−(μi⋅+μ⋅j−μ)  记为 γij  称为因素 A的第  i  个水平和 因 素B 的 第 j  个水平的交互效应
   • 在实际数据中, 往往两者的估计值并不安全相等, 就是说  X¯ij⋅  和  X¯i⋅⋅+X¯⋅j⋅−X¯⋯ 的值有差异
10. 检验交互作用统计量的构造
    
    • 考虑其差值的平方和作为两者是否有交互作用的度量，记
      SSAB=∑i=1r∑j=1st(X¯ij⋅−X¯i⋅⋅+X¯⋅j⋅−X¯⋯)2
    • 在假设  γij≡0, i=1,⋯,r, j=1,⋯,s  成立的条件下, 有
      SSABσ2∼χ2((r−1)(s−1))
    • 其中  (r−1)(s−1)=rst−1−(r−1)−(s−1)−[rs(t−1)]
    • 将  σ2  用估计值  SSErs(t−1)  代替，并将分子除以相应的自由度，得
      SSAB/(r−1)(s−1)SSE/rs(t−1)∼F((r−1)(s−1),rs(t−1))

2 两因素方差分析的R实现

1. 例
   

   四种不同的机床, 操作员有三位, 轮换进行了三件元件的制作, 制作时间共36个, 数据如下, 请问机器和操作员不同对元件制作有无显著的影响，另外机器和操作员之间有无交互效应

   ## 数据集的生成
   Y<-c(15,15,17,19,19,16,16,18,21,17,17,17,15,15,15,19,22,22,15,17,16,18,17,16,18,18,18,18,20,22,15,16,17,17,17,17)
   A<-gl(4,9,36)
   B<-gl(3,3,36)
   jiqi<-data.frame(Y,A,B)
   write.table(jiqi,file="data/jiqi.csv")
   

   ## 机器操作员数据的结构，输出前6行数据
     jiqi<-read.table("data/jiqi.csv")
     head(jiqi)
   

      Y A B
   1 15 1 1
   2 15 1 1
   3 17 1 1
   4 19 1 2
   5 19 1 2
   6 16 1 2
   

   data/jiqi.csv

2. 两因素方差分析的代码
   

   jiqi$A<-as.factor(jiqi$A)
   jiqi$B<-as.factor(jiqi$B)
   

   jiqi.aov<-aov(Y~A+B+A:B,data=jiqi)
   summary(jiqi.aov)
   

               Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
   A            3   2.75   0.917   0.532 0.664528
   B            2  27.17  13.583   7.887 0.002330 **
   A:B          6  73.50  12.250   7.113 0.000192 ***
   Residuals   24  41.33   1.722
   ---
   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
   

   • 说明 Y~A+B+A:B 为模型，表示考虑主效应 A ,B 和交互效应 A:B 对响应变量 Y 的影响