走台阶问题

问题

刚才在首页看到一篇博客,说的是腾讯的一道面试题:一个楼梯有50个台阶,每一步可以走一个台阶,也可以走两个台阶,请问走完这个楼梯共有多少种方法?博主把这题分析的很麻烦。引来很多人围观。我以前也碰到过这个问题。写出来和大家分享一下。

举个例子,假设有3个台阶,则有三种走法:分别是,1-1-1, 1-2, 2-1。

分析

很简单的一道题,学过组合数学的人很快就能想到,这是一个递推关系。假设走完k个台阶有f(k)种走法。

  • k = 1时,f(k) = 1
  • k = 2时,f(k) = 2
  • k = n时,第一步走一个台阶,剩n-1个台阶,有f(n - 1)种走法。第一步走两个台阶,剩n-2个台阶,有f(n - 2)种走法。所以共有f(n - 1) + f(n - 2)种走法。

于是有如下公式

走台阶问题_第1张图片

代码

//递归算法
int count(unsigned int n)
{
    if(n == 1)
        return 1 ;
    if(n == 2)
        return 2 ;
    else 
        return count(n - 1) + count(n - 2) ;
}
//非递归算法
int count(unsigned int n)
{
 int a = 1;
 int b = 2;
 if (n == 1)
 {
 return a;
 }
 if (n == 2)
 {
 return b;
 }


 int ret = 0;
 for(int i = 2; i<n; i++)
 {
 ret = a + b;
 a = b;
 b = ret;
 }
 return b;//return ret也是可以的,看你怎么理解
}

具体是怎么走的呢?

上面只给出了有多少种走法,那么具体每一种走法是怎么走的呢?比如n=4时,五种走法分别如下:

1,1,1,1

1,1,2

1,2,1

2,1,1

2,2

我们用一个整型数组来存放每一步的内容,1表示这步走了一个台阶,2表示这步走了两个台阶。回溯法搞定。代码如下。

void count(int n, int t)
{
    if(n < 0)
        return ;
    if (n == 0)
        Output(step, t) ;
    else
    {
        for (int i = 1; i <= 2; ++i)
        {
            step[t] = i ;
            count(n - i, t + 1) ;
        }
    }
}

类似的问题

与此题类似的问题有很多,比如铺地砖问题,自然数拆分等。

铺地砖问题

有一个长度为n,宽度为2的地面,有若干块长为2,宽为1的地砖,请问用此地砖铺完这个地面共有多少种方法?

走台阶问题_第2张图片

分析一下,假设铺完长度为n的地面有f(n)种方法,如果第一块地砖竖起来铺,还剩下长度为n-1的地面,有f(n-1)种方法。如下图。

走台阶问题_第3张图片

如果第一块地转横着铺,那么还剩下长度为n-2的地面,有f(n-2)种铺法(#add,横砖下面的2格也只能放个横砖,摆法已经固定)。如下图。

走台阶问题_第4张图片

所以这道题与上面的题解法完全一样。不同的题目,相同的模型而已。

自然数拆分

给定一个自然数n,将其拆分为若干个自然数字之和,请问有多少种方法?举个例子,n=4时,可以拆分为1-1-1-1,1-1-2,1-3,2-2。

这题和上面的题很像,不过上面的问题是排列问题,而这题是组合问题,比如n=4时,1-1-2,1-2-1,2-1-1这三种只能算一个拆分。在上面的基础上,去掉重复的组合即可。

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