卡特兰数

一  概念

 卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

 卡特兰数前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790,

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式^[1]：

　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

　  另类递推式^[2]：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

　　递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

　　递推关系的另类解为：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

二  建模方法

模型为 

0    简单的测试： 找到 一个模型的前几项等于卡特兰数1,1,2,5,14

1 （这个是充分条件）卡特兰数的应用可归结为一句话：n个a和n个b组成一个排列，保证它的前缀中a的个数大于b的个数       或者

2 （这个是充要条件）归结为这个组合排列问题可以进行分段，用卡特兰数表示h(n)=∑h(i-1)h(n-i)  

注意:第一个元素一般是固定的；进行分段时，使用第一个元素对整个序列进行划分。或者

3 （这个是充要条件）转换为h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

4     等价于在方格中计算路径数

三常见应用

实质上都是递推等式的应用

括号化

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

       建模：2n个括号即n对括号，第一个左括号是不变的，那么与之相匹配的括号在位置2i。则把整体的分成两段：在第一队括号内的有i-1对括号，在在第一个括号外的有n-i对括号。则h(n)=∑h(i-1)h(n-i),i从1到n

出栈次序

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

建模：此处百度百科里面说的较为含糊。

假设第一个元素的出栈序号为i，那么出栈分成两段：前i-1个数和后n-i个数

第一个元素出栈，说明栈为空；第一个元素的出栈序号为i，说明有在此之前i-1个元素出栈，在此之后有n-i个元素出栈。

凸多边形三角划分

　　在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

类似问题

　　一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　　在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

给定节点组成二叉树

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？^[7]

　　（能构成h（N）个）

　　（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

四 扩展：图形化建模

首先可以证明一个n宽m高的方格，左下角到右上角的路径树为(N+M,M),略去证明。

1    就是给定n个元素，依次通过一个栈，求可能的出栈序列的个数。

 

        下面我们来看一种图形化的方法证明这个等式，很容易理解的。
        我们把对n个元素的n次进栈和n次出栈理解为在一个n * n的方格中向右走n次（代表进栈），向上走n次（代表出栈）。由于出栈次数不能大于进栈次数，我们可以得到这样一个方格：

            

        每次沿着实线走，所以，只要求出从方格左下角到右上角路径的个数即可。
        我们把表格补全，考虑每一条不合法的路径，如

        在这条路径上，必然有一个地方连续两次向上，即从图上蓝点处开始，而且这个点必然在如图所示的绿线上。我们以这个点为起点，把到左上角整条路经取反，也就是对称上去，得到一条新路径，但是超出了表格。我们知道，这条路径包括n + 1次向上和n – 1次向下，也就是在一个(n + 1) * (n - 1)的方格中。由此我们知道，一条不合法路径必然对应一个(n + 1) * (n - 1)方格中的路径。同样地，对于(n + 1) * (n - 1)方格中任意一条路径，以这条路径与绿线的第一个交点为起点到方格的右上方全部取反，即可得到一个在n * n方格中的不合法路径。

        我们通过这样的方法确定了每条不合法路径与一个(n + 1) * (n - 1)方格中路径的一一对应关系，因此，方格中不合法路径总数为C(2n, n - 1)，而所有路径总数为C(2n, n)，两式相减即为原组合等式。

 

2 2进制数

　　对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：C（n,m）-C(n,m-1)。证明可以参考标准catalan数的证明。^[8]

　　问题1的描述：有n个1和m个-1（n>=m），共n+m个数排成一列，满足对所有0<=k<=n+m的前k个数的部分和Sk > 0的排列数。 问题等价为在一个格点阵列中，从（0，0）点走到（n，m）点且不经过对角线x==y的方法数（x > y）。

　　考虑情况I：第一步走到（0，1），这样从（0，1）走到（n，m）无论如何也要经过x==y的点，这样的方法数为(( n+m-1,m-1 ));

　　考虑情况II：第一步走到（1，0），又有两种可能：

　　a . 不经过x==y的点；（所要求的情况）

　　b . 经过x==y的点，我们构造情况II.b和情况I的一一映射，说明II.b和I的方法数是一样的。设第一次经过x==y的点是（x1，y1），将（0，0）到（x1，y1）的路径沿对角线翻折，于是唯一对应情况I的一种路径；对于情况I的一条路径，假设其与对角线的第一个焦点是（x2，y2），将（0，0）和（x2，y2）之间的路径沿对角线翻折，唯一对应情况II.b的一条路径。

　　问题的解就是总的路径数 ((n+m, m)) - 情况I的路径数 - 情况II.b的路径数。

　　((n+m , m)) - 2*((n+m-1, m-1))

　　或： ((n+m-1 , m)) - ((n+m-1 , m-1))

　　问题2的描述：有n个1和m个-1（n>=m），共n+m个数排成一列，满足对所有0<=k<=n+m的前k个数的部分和Sk >= 0的排列数。（和问题1不同之处在于此处部分和可以为0，这也是更常见的情况） 问题等价为在一个格点阵列中，从（0，0）点走到（n，m）点且不穿过对角线x==y的方法数（可以走到x==y的点）。

　　把（n，m）点变换到（n+1，m）点，问题变成了问题1。

　　方法数为：

　　((n+m+1, m)) - 2*((n+m+1-1, m-1))

　　或： ((n+m+1-1, m)) - ((n+m+1-1, m-1))

            

大部分参考自：http://baike.baidu.com/view/2499752.htm

http://blog.163.com/wangenze_black@126/blog/static/110710515200962110481040/