序关系计数问题

现在有N个字母代表N个变量，请用'<' 或者'='号将这些字幕连接起来成为一个序，比如对于三个字母A,B,C ，有13种序的关系。

A<B<C. A<B=C,A<C<B等等。

现在编程求出对N个字母可以排出多少种序的关系？

 

首先注意=号跟<号还不一样，因为A=B与B=A是一样的，只能算一个。

而<号却可以将一个连接分为两个独立的部分，也就是根据乘法原理，最后的关系数是左边和右边的相乘。

现在我们枚举第一个小于号出现的位置，N个字母有N-1个空，所以第一个小于号出现的位置k 满足  1<=k<=N-1，在这个位置左边都是=号，所以根据乘法原理，左边的关系数就是从N个选出K个字母放在左边全相等，而右边则变成一个(N-K)大小的子问题，可以递归求解。

因此可以得出通项公式：

F[n] = Sum{ C(k,n) * F[n-k]  ,  1<=k<=n-1 }