二叉堆模板小结-附上解题报告poj3253、poj2442、poj2010、poj3481

一：二叉堆以及相关操作

二：例题

二叉堆是一个逻辑结构像堆的一个数据结构

对于这个堆，采用一维数组的存储方式，因为二叉堆是一颗完全二叉树，在一维数组的存储中可以这样表示，任何一节点下标 i，左子结点下标为 2*i ， 右子结点下标为 2*i+1，其性质满足一节点的值大于(或小于，大于就是最大堆，小于就是最小堆)子树的每一个节点的值，但是对于子节点2*i 和 2*i+1之间的大小并没有关系，二叉堆有如下操作：

都用大根堆做例子，即：a[i] > a[i*2] && a[i] > a[i*2+1]，小根堆只有点点不同

1.调整：将一个顶点作为根，(之前此根的子树满足大根堆性质)去调整这个点(只是子树满足，但次根的值不满足，所以才要调整根)  

以下代码把长度为 n 的数组中 下标为 m 的点作为根，调整

void heap(int a[],int n,int m)//这里小根堆只要把 下面的 a[m] < a[m+1] 和 a[m] > a[m/2] 两处的大小符号取反
{
    int t;
    while(m*2 <= n)//条件是不越界
    {
        m *= 2; // m 指到左子节点
        if(m+1 <= n && a[m] < a[m+1]) m ++;  //挑选左右子节点中较大的，如果右边大，m++就指向右子结点的位置，
        if(a[m] > a[m/2])      //如果左右子节点中选出来的那个点 大于根，那么就交换值，并且从挑选的位置再接着向下调整
        {
            t = a[m];
            a[m] = a[m/2];
            a[m/2] = t;
        }
        else break; //如果挑选出来的不大于根，由于原子树满足大根堆性质，就没必要再调整
    }
}

2.建堆：结合上面，就有一个函数可以使一个无序的数组满足大根堆性质，

对于一个无序数组，其逻辑结构就是一个完全二叉树，一个堆的形式，那么对于有n个值的堆，(也就是一个长为n的一维数组)，最底层我们可以从 n/2 开始，递减将每个位置都heap 一次，一层一层向上调整，那么调整完之后就是一个满足最大堆的性质的堆啦 (很多题目就要用到对一个数组建堆再处理)

void make_heap(int a[], int n)
{
	for(int i = n/2; i > 0; i --)
		heap(a,n,i);
}

3.堆排序：那么对于以上两个算法，结合，还可以得到一个堆排序的算法，就是对于一个无序的数组，排成有序数组(但是注意一个二叉堆不一定是有序，只是满足堆的性质)

引用:

用大根堆排序的基本思想

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

② 再将关键字最大的记录a[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录a[n]交换，由此得到新的无序区a[1..n-1]和有序区a[n]，且满足a[1..n-1]≤a[n]

③由于交换后新的根a[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区a1..n-1]调整为堆。然后再次将a[1..n-1]中关键字最大的记录a[1]和该区间的最后一个记录a[n-1]交换，由此得到新的无序区a[1..n-2]和有序区a[n-1..n]，且仍满足关系a[1..n-2]≤a[n-1..n]，同样要将a[1..n-2]调整为堆。

……

直到无序区只有一个元素为止。

void heap_sort(int a[], int n)
{
	make_heap(a,n); //建大根堆
	for(int i = n; i > 1; i --)//建堆之后，a[1]为最大值，我们把它放到最后a[n]的位置，
		                       //那么后面只要将长度为n-1，位置为1的地方再调整一次就可以啦，
					//循环下来，每次挑选数组中最大的值放到后面不动它，调整前面，再找前面一节中最大的
					//如此反复即可
	{
		int t = a[1];
		a[1] = a[i];
		a[i] = t;
		heap(a,i-1,1);
	}
}

4.那对对于一个堆，我们有的时候需要往里面添加一个数，那么对于这个添加的数，我们就有一个插入操作，(这里还是以大根堆为例)，对于往堆中插入一个数，我们在插入的过程中就可以把它放到一个相对大小合适的位置，O(logN)的时间

void push_heap(int a[],int x)//在大小为n的堆尾部(也就是一维数组的n+1的位置) 添加 x
{
    a[++n] = x; //添加
    int i = n;
    while(i > 1 && a[i/2] < x)//我们一层一层的往上比较，插入，对于一个大根堆，如果上面的数小，就要把小的数下降
    {
        a[i] = a[i/2];
        i /= 2;
    }
    a[i] = x;//最后的插入
}

5.对应插入，就有删除，一般，对于一个大根堆，我们是每次需要用到一个数组的最大值才会建造一个大根堆，那么，有的时候选择最大的之后就要删除，那么为了方便下一次对于剩下的数中选择最大的，就要相应的操作

void pop_heap(int a[], int n) 
{
	int x = a[1];
	a[1] = a[n];
	n--;
	heap(a,n,1);
	return x;
}

解题代码也放这里就太长啦，以后有机会还要更新，

例题解题报告代码链接