【math】同余模方程组

这几天小机房选拔考试，向总很神奇的拿来了三套大约为省选难度的试题，嗯，这些题都很经典。

 

这道题的大意是这样的：给你P个N阶置换，你必须按顺序合成这些置换（1,2,..N,1,2,3,..,N,1,2,3）成为一个单位元，求最少合成步数。（N,P＜200）

 

这道题数据大水导致我一个模拟+cheat全过。。

 

其实是很不错的一道题，具体做法如下：

考虑ans mod p = y，ans=p*x+y ，可知前面这P*X个置换合成的置换和后面Y个置换合成的置换互为逆元，那我们枚举Y,就可以知道前P*X个置换该合成什么置换，然后将每一轮的P个置换合成为一个置换，那么就把这道题转化成了把一个置换转换成另一个置换的问题，对于置换群上的每一个位置构造一个模方程，利用同余模方程组即可求出X，复杂度为O(N²logN)。

 

数学题一向好编，因为这题的数据比较小，没有利用扩展欧几里得解模方程，直接枚举也可以秒出：

 

 program ex4; var go,t:array[0..200,0..200] of longint; a,b:array[0..200] of longint; i,j,k,o,n,s,p,lop,ans:longint; ok:boolean; function gcd(a,b:longint):longint; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd(b,a mod b) end; begin assign(input,'plan.in');reset(input); assign(output,'plan.out');rewrite(output); readln(n,p);ans:=maxlongint; for i:=1 to n do for j:=1 to p do read(go[i,j]); for i:=1 to n do t[0,i]:=i; for i:=1 to p do for j:=1 to n do t[i,go[j,i]]:=t[i-1,j]; for i:=0 to p-1 do begin ok:=true; for j:=1 to n do begin lop:=1;a[j]:=0; s:=t[i,j];o:=t[p,s]; while o<>s do begin if o=j then a[j]:=lop; inc(lop);o:=t[p,o]; end; if (s<>j)and(a[j]=0) then ok:=false; b[j]:=lop; end; if not ok then continue; for j:=1 to n do for k:=1 to n-j do if b[k]<b[k+1] then begin lop:=a[k];a[k]:=a[k+1];a[k+1]:=lop; lop:=b[k];b[k]:=b[k+1];b[k+1]:=lop; end; k:=ord(i=0);lop:=1; for j:=1 to n do begin while k mod b[j]<>a[j] do inc(k,lop); lop:=lop * b[j] div gcd(lop,b[j]); end; if ans>k*p+i then ans:=k*p+i; end; writeln(ans); close(input);close(output); end.