Young氏矩阵

一个m x n的Young氏矩阵(Young tableau)是一个m x n的矩阵,其中每一行的数据都从左到右排序,每一列的数据都从上到下排序。Young氏矩阵中可能会有一些∞数据项,表示不存在的元素。所以,Young氏矩阵可以用来存放r≦mn个有限的数。
    a)画一个包含元素{9,6,3,2,4,8,5,14,12}的4 x 4的Young氏矩阵。
    b)讨论一个m x n的Young氏矩阵,如果Y[1,1]=∞,则Y为空;如果Y[m,n]<∞,则Y是满的(包含m x n个元素)。
    c)给出一个在非空m x n的Young氏矩阵上实现EXTRACT-MIN的算法,使其运行时间为O(m+n)。你的算法应该使用一个递归子过程,它通过递归地解决(m-1) x n或m x (n-1)子问题来解决m x n的问题。(提示:考虑一个MAX-HEPIFY。)定义T(p)为EXTRACT-MIN在任何m x n Young氏矩阵上的最大运行时间,其中p=m+n。给出表达T(p)的、界为O(m+n)的递归式,并解该递归式。
    d)说明如何在O(m+n)时间内,将一个新元素插入到一个未满的m x n Young氏矩阵中。
    e)在不用其他排序算法帮助的情况下,说明如何利用n x n Young氏矩阵对n^2个数排序的运行时间为O(n^3)。

    f)给出一个运行时间为O(m+n)的算法,来决定一个给定的数是否在于一个给定的的m x n Young氏矩阵内。

分析与解答:

     a)遵循每一行的数据都从左到右排序,每一列的数据都从上到下排序,可以很容易写出一个可能的Young氏矩阵

          2       3       4        5

          6       8       9        12

         14      ∞      ∞       ∞

          ∞      ∞      ∞       ∞

 

     b)Y[1,1]是Young氏矩阵中最小的元素,如果它为∞,说明矩阵中每个元素的值均不小于∞,即每个元素均是∞,所以Y为空;Y[m,n]是Young氏矩阵中最大的元素,如果Y[m,n]<∞,说明矩阵中每个元素均小于∞,即Y是满的
      c)采用类似堆中提取最小元素的方法:将Young氏矩阵中最末的元素和第一个元素交换,然后类似MAX-HEAPIFY的方法调整第一个元素,整个过程如下:

YOUNG-EXTRACT-MIN(A)
min←A[1,1]
A[1,1]←A[m,n]
YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, 1, 1)
return min
YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, i, j)
if j<n and A[i,j]>A[i,j+1]
   then (min_i, min_j) = (i, j+1)
   else (min_i, min_j) = (i, j)
if i<m and A[min_i, min_j] > A[i+1,j]
   then (min_i, min_j) = (i+1, j)
   if min_i≠i or min_j≠j
   then exchange A[i,j]↔A[min_i,min_j]
        YOUNG-MIN-HEAPIFY(A,min_i,min_j)

而YOUNG-MIN-HEPIFY是一个递归过程。YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m, n)会和它紧邻的结点比较,要么调用YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m, n-1),要么调用YOUNG-MIN-HEAPIFY(A, m-1, n)。若令p=m+n,则有:T(p)= T(p-1)+O(1),则总的运行时间为O(p),即为O(m+n)

     d) 采用类似堆中增加元素的方法,先将∞放在Young矩阵的末尾,然后采用类似INCREASE-KEY的方法,向上调整
YOUNG-ISNERT(A, key)
(m, n) ← size(A)
if A[m,n]<∞
   then error " YOUNG matrix overflow"
A[m, n]←∞
YOUNG-DECREASE-KEY(A, m, n, key)
YOUNG-DECREASE-KEY(A, i, j, key)
if j>1 and A[i,j] < A[i,j-1]
   then (max_i, max_j) = (i, j-1)
   else (max_i, max_j) = (i, j)
if i>1 and A[max_i, max_j] > A[i-1,j]
    then (max_i, max_j) = (i-1, j)
if max_i≠i or max_j≠j
   then exchange A[i,j]↔A[max_i,max_j]
      YOUNG-DECREASE-KEY(A,max_i,max_j)

类似于上面的分析,若令p=m+n,则有:T(p)= T(p-1)+O(1),则总的运行时间为O(p),即为O(m+n)

e)每次提取其中的最小元素,调用YOUNG-EXTRACT-MIN,共需调用n  x n次,而每次YOUNG-EXTRACT-MIN需要O(n+n)运行时间,故总的运行时间为O(n^3)

 

   f)每次与最右上角的元素X相比:如果等于X,则找到了;如果小于X,则去掉最上面一行;如果大于X,则去掉最右边一行。

每次比较去掉一行或一列,则该算法的运行时间为O(m+n)

YOUNG-SEARCH(A, i, j, m, n, key) //(i,j) and (m,n) was the coordinate of the left-top and the right-bottom of the sub YOUNG matrix
if i>m or j>n
   then error "can't find the key"
if A[i,n]==key
   then return (i,n)
   else if max_A[i,n]<key
        then YOUNG-SEARCH(i+1, j, m, n, key)
        else  YOUNG-SEARCH(i, j, m , n-1, key)    

转载出处: http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6234564

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