编辑本段公式分类
三角关系
倒数关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
平方关系：
一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
[1]
坡度公式
我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，
即
i=h / l,坡度的一般形式写成
l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水 平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么
i=h/l=tan a.
锐角三角函数
正弦：sinα=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边
一般公式
sin30°=二分之一
sin45°=二分之根号二
sin60°=二分之根号三
cos30°=二分之根号三
cos45°=二分之根号二
cos60°=二分之一
tan30°=三分之根号三
tan45°=1
tan60°=根号三
[2]
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A））
三倍角公式
三倍角公式
cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3a = tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a)
三倍角公式推导
sin（3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a)
=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]
=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}
=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]
=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)
现列出公式如下：
sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/（1-tan^2（α）） cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）
可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a)
半角公式
sin^2（α/2）=（cosα-1）/2
cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
万能公式
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
其他
sinα+sin（α+2π/n)+sin（α+2π*2/n)+sin（α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n)+cos（α+2π*2/n)+cos（α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1）/n]=0 以及
sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））
cos6A=((-1+2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）
七倍角公式
sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））
cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））
cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
十倍角公式
sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A = ((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
N倍角公式
根据棣美弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 + ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=>；比较两边的实部与虚部
实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*
虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …
对所有的自然数n：
⒈cos(nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。
⒉sin(nθ）：
⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sinθ）表示。
⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。
例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
半角公式
tan(A/2）=（1-cosA)/sinA=sinA/（1+cosA)
sin^2(A/2）=[1-cos(A)]/2
cos^2(A/2）=[1+cos(A)]/2
半角公式
两角和公式
两角和公式
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ -cosαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
cot(A+B) = (cotAcotB-1）/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1）/(cotB-cotA)
三角和公式
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）
和差化积
sinθ+sinφ =2sin[（θ+φ）/2] cos[（θ-φ）/2]
和差化积公式
sinθ-sinφ=2cos[（θ+
[3] φ）/2] sin[（θ-φ）/2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ= -2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B）（1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B）（1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）] /2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a+e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）= sinα
cos（2kπ+α）= cosα
tan（2kπ+α）= tanα
cot（2kπ+α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的 三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）= -sinα
cos（π+α）= -cosα
tan（π+α）= tanα
cot（π+α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的 三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
（以上k∈Z)
A·sin（ωt+θ）+ B·sin（ωt+φ） =
√
{(A+2ABcos（θ-φ）} · sin
{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ） / √{A^2 +B^2 +2ABcos（θ-φ）}
}
√表示 根号，包括{……}中的内容
编辑本段诱导公式
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一：
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二：
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
公式三：
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
公式四：
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五：
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
公式六：
tanA= sinA/cosA
tan（π/2+α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
tan（π－α）=－tanα
tan（π+α）=tanα
诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
公式一：
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二：
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
公式三：
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
公式四：
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五：
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
公式六：
tanA= sinA/cosA
tan（π/2+α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
tan（π－α）=－tanα
tan（π+α）=tanα
诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
记背诀窍：奇变偶不变，符号看 象限
万能公式
万能公式
cosα=[1-(tan（α/2））^2]/[1+(tan（α/2））^2]
tanα=2tan（α/2）/[1-(tan（α/2））^2]
其它公式
三角函数其它公式
⑵1+(tanα）^2=(secα）^2
⑶1+(cotα）^2=(cscα）^2
证明下面两式，只需将一式，左右同除（sinα）^2，第二个除（cosα）^2即可
⑷对于任意非 直角三角形，总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：
A+B=π-C
tan(A+B)=tan（π-C)
（tanA+tanB)/（1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/（1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证，当x+y+z=nπ（n∈Z）时，该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
⑸cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
⑹cot(A/2）+cot(B/2）+cot(C/2）=cot(A/2）cot(B/2）cot(C/2）
⑺（cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
⑻（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
（seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1）^(k-1）*(x^（2k-1））/（2k-1）！+…… x∈ R
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1）k*(x^（2k))/（2k)!+…… x∈ R
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/（2*4）*x^5/5 + ……（|x|<1）
arccos x = π - (x + 1/2*x^3/3 + 1*3/（2*4）*x^5/5 + ……） (|x|<1）
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1）
无限公式
sinx=x（1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2）……
cosx=（1-4x^2/π^2）（1-4x^2/9π^2）（1-4x^2/25π^2）……
tanx=8x[1/（π^2-4x^2）+1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）+……]
secx=4π[1/（π^2-4x^2）-1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）-+……]
（sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……
（1/4）tanπ/4+（1/8）tanπ/8+（1/16）tanπ/16+……=1/π
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1）
和自变量数列求和有关的公式
sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2）sin((n+1）x/2）]/sin(x/2）
cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1）x/2）sin(nx/2）]/sin(x/2）
tan((n+1）x/2）=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)
sinx+sin3x+sin5x+……+sin（2n-1）x=(sinnx)^2/sinx
cosx+cos3x+cos5x+……+cos（2n-1）x=sin（2nx)/（2sinx)
编辑本段内容规律
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
三角函数本质：
根据三角函数定义推导公式
sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：
推导：
首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β， 旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ），A'(cos（α-β），sin（α-β））
OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)
∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα-cosβ）^2+(sinα-sinβ）^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据 半径为一 中心为原点的 单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于 直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有 正数和 负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都 包含了。根据 勾股定理，单位圆的等式是：
图象中给出了用 弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同
x轴正半部分得到一个角
θ，并与单位圆相交。这个交点的
x和
y 坐标分别等于 cos
θ和 sin
θ。图象中的三角形确保了这个公式； 半径等于斜边且长度为1，所以有 sin
θ=
y/1 和 cos
θ=
x/1。 单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
编辑本段一些重要的定理
正弦定理
正弦定理：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
其中，R为△ABC的外接圆的半径。
余弦定理
余弦定理：在△ABC中，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。
其中，θ为边a与边c的夹角。