stirling数的性质及应用

stirling数可指两类数。
第一类数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。其实就是k个互不相交的轮换乘积的n元置换的个数。详情参考：陈景润《组合数学》P85。
递推公式：
S(n,0) = 0;
S(1,1) = 1;
S(n + 1,k) = S(n, k - 1) + nS(n,k);
简单应用：求含有n个元素的集合恰好被分解成k个非空子集合，并且在每个子集集合中的元素是排在一个圆周上的分化数目。
分析：将n个元素记为b1,b2,...,bn，然后按bn所处的圆周集合的形式，将分化分成两类：
1）bn自己构成一个圆周的子集合，则将剩下的n-1个元素划分成k-1个子集合，划分的数目为S(n-1,k-1)。
2）将bn划分到已有的k个集合中，则与bn相邻排在一起的元素可以是b1,b2,...,bn-1中的任何一个，所以划分数为(n-1)S(n-1,k)。

第二类是把包含n个元素的集合划分成正好k个非空子集的方法的数目。
递推公式：
S(n,k) = 0;(n < k or k = 0)
S(n,n) = S(n,1) = 1;
S(n,k) = S(n - 1,k - 1) + kS(n - 1,k);
简单应用：将n个有区别的球放入k个无标号的盒子中（n>=k>=1,且盒子不允许为空）的方案数
分析：设有n个不同的球，分别用b1,b2,...,bn表示，从中取出一个球bn,bn的放法有以下两种：
1）bn独占一个盒子，那么剩下的球只能放在k-1个盒子里，方案数为S(n-1,k-1)个。
2）bn与别的球共占一个盒子，那么久可以将b1,b2,...,bn-1这n-1个球放入k个盒子里，然后将bn放入其中一个盒子中，方案数为 kS(n-1,k)。