开始从ToDoList里挑东西来杀.
感觉矩阵和行列式这两个跟很多东西都有关而且接触最少
所以先从它们开始补>w<
P.S.看了很多资料,他们对矩阵和行列式这些东西的介绍都很丧病…我会尽量用通俗的语言来写我的笔记= =如果您不喜欢这种风格QAQ那我也没办法了请隔壁看别人的吧
—————————线割分是我>w<——————————————–
矩阵是n*m个数在n*m这个二维区域内的一个排列,是一个横纵排列的二维数字表格.
也就是说,矩阵只是一些数的一种存储形式.
通常我们使用大括号或者中括号来表示一个矩阵.
我们将矩阵中横向的元素组称为行,纵向的称为列.(P.s.Wikipedia上说这仅仅是中国大陆的叫法)
特殊的,当一个矩阵的n或者m为1时,他变成了一个向量.
通常情况下我们说的向量都是矩阵的一个列向量(即某一列上所有数的排列),那要怎么得到行向量呢?
一个矩阵转置之后的第i列的列向量就是他之前的第i行的行向量
那什么是矩阵的转置呢?
有矩阵A,将A行上元素和列上元素交换得到新的矩阵,这个新的矩阵就是矩阵A的转置,记为 AT .
例如:
矩阵的加法:
有矩阵A和矩阵B,二者都是n*m的矩阵,则他们的和矩阵C里每一个元素 Ci,j=Ai,j+Bi,j
全0矩阵是矩阵加法的单位元.
矩阵的减法:
类比加法, C=A−B , Ci,j=Ai,j−Bi,j
矩阵的倍数:
和向量的数乘运算类似,对 B=λA ,他的每一个元素 Bi,j=λ⋅Ai,j
矩阵的乘法:
矩阵乘法的要求不再是两个矩阵大小相等,他要求相乘的矩阵A和B,假设A的列数为n,则B的行数必定为n.也就是A的转置矩阵大小一定可以容纳下B矩阵或者被B矩阵容纳.官方的说法是这两个矩阵相容.
若一个矩阵A为m*n的矩阵,B为n*p的矩阵,C为他们的乘积,则
好了你已经扯了千字的矩阵,可是我要看行列式.你的行列式在哪里?
QAQ不要急啊矩阵内容比较多马上就是行列式了>_<
一个矩阵A的行列式记作 det(A) ,或者 |A| .
注意:行列式只能对一个n*n的方阵而言,其他矩阵是无法构成行列式的!!!
区别:行列式是一个数值,而矩阵是一个特殊的数字排列.
行列式要怎么计算呢?(偷个懒用下维基的图QAQ)
好麻烦啊…每次还得找对应位置…而且规律好复杂…
不怕不怕,看看这个↓:
每条红线上的元素的乘积之和,减去蓝线上元素乘积之和就是行列式的值.
是不是感觉清楚多了>U<
行列式的运算也有几个性质:
① det(AT)=det(A) (毕竟是n*n方阵)
②矩阵的任意两行或两列如果交换,行列式的值要变号
③如果矩阵某两行或两列相同,行列式的值等于0
④行列式的某行或某列有一个公因子k,则 A=kA1 ,A_1为对该行或该列提出k之后剩下的那个行列式
⑤矩阵某行或某列的元素全部为0,行列式的值为0
⑥矩阵有两行或两列中每个元素对应成比例,行列式的值为0
⑦…
其实性质很多很多…在实践过程中自行脑补吧!> A <
另外对行列式有一个非常重要的公式叫Binet-Cauchy公式(比内-柯西公式)
假设矩阵A和B分别是n*m和m*n的矩阵,则
扯了这么多你还是没讲怎么计算一个行列式的值啊魂淡(╯‵□′)╯︵┻━┻
不要急=- =我们马上就说
一点点来。。。
在行列式中,某一行(列)的每个元素是两个数的和,则此行列式可拆分为两个相加的行列式,如:
有了这些可以比较直接的推出一个结论:
记作*式
(这个还是比较显然的)
于是我们可以正式开始探讨要如何求行列式的值了
已有行列式
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到这里矩阵和行列式的基本知识补的差不多了QUQ
虽然矩阵的秩什么的还没有好好看。。。
但是已经足够深入学一些东西了。。
不足的以后再学嘛~