飞船空间跳跃问题

一个有趣的问题

 

题目出自 Williams 的教材 "Probability with Martingales" 的一道习题，虽然不算很难但是综合使用了许多知识，展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。

 

问题：一艘太空船正在宇宙中做星际航行时，飞船的控制系统出了故障，飞船不能正常地进行空间跳跃，而是只能预先设定一个距离，然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在的问题是飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 $r$，发生故障时飞船与太阳的距离为 $R$，这里 $R>r$。在每个时刻，飞船能够知道自身与太阳系的距离。

求证：不论采用怎样的跳跃策略，飞船返回太阳系的概率都小于 $r/R$；但是对任何 $\epsilon>0$，可以采取适当的策略，使得飞船返回太阳系的概率大于 $(r-\epsilon)/R$，即 $r/R$ 是最优概率。这个最优策略是什么？

 

 分析的预备知识

引理 ：设 $S$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中以一点 $A$ 为中心，半径为 $R$ 的球面，$X$ 是 $S$ 上均匀分布的随机点，则 $X$ 与原点 $O$ 的距离倒数的期望值

\[\mathbf{E}\frac{1}{|X|}=\left\{\begin{array}{l}1/a&R<a,\\1/R&R\geq a.\end{array}\right.\]

这里 $a$ 和 $|X|$ 分别表示 $A$ 和 $X$ 与原点 $O$ 之间的距离。

这个引理其实是我们都熟悉的高中物理知识：假设在球面 $S$ 上有总量为 1 的均匀分布的电荷，则在原点 $O$ 处的电势（忽略物理常数）就是所求的 $\mathbf{E}\frac{1}{|X|}$。而我们知道在均匀带电球壳 $S$ 上以及 $S$ 的内部，电势是常数，等于 $1/R$；在球壳 $S$ 外部一点的电势等于该点到球心距离的倒数，从而引理得证。

当然也可以由调和函数的性质直接讨论得出，这里就不再赘述了。

 

条件期望的预备知识

通常的条件期望是用 Radon - Nikodym 导数定义的，这个定义有时候用起来并不方便。譬如设 $X,Y$ 是两个随机变量，如果事件 $\{X=x\}$ 是零概率事件，但是在已知 $X=x$ 的前提下，期望值 $f(x)=\mathbf{E}[Y|X=x]$ 又是有明显的概率意义的，即给定 $X$ 的信息，$Y$ 的期望值是 $f(X)$，于是直观上应该有 $\mathbf{E}[Y|X]=f(X)$。但是怎么说明这个直观上的条件期望与抽象的条件期望一致呢？这就是下面的 "freezing lemma"。

引理：设 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 是一个概率空间，$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ 是一个子 $\sigma-$ 代数，随机变量 $X:\Omega\rightarrow E$ 关于 $\mathcal{G}$ 可测，随机变量 $Y:\Omega\rightarrow F$ 与 $\mathcal{G}$ 独立（从而 $X,Y$ 独立），这里 $E,F$ 是两个可测状态空间。设 $f:E\times F\rightarrow\mathbb{R}$ 是非负可测函数（或者有界可测函数），则

\[ \mathbf{E}[f(X,Y)|\mathcal{G}] = \mathbf{E}[f(x,Y)].\]

或者写成更直观的形式： \[ \mathbf{E}[f(X,Y)|\mathcal{G}] = \mathbf{E}[f(X,Y)|X=x].\]

引理的证明就是从示性函数 $1_A\times 1_B$ 出发的标准方法，不再费笔墨了。

 

模型的建立

1. 初始时刻设为 0，太阳系是以原点为圆心，半径为 $r$ 的球体，飞船初始位置在 $(R,0,0)$ 处。

2. 设 $\{\overrightarrow{U_n}\}_{n\geq 1}$ 是定义在某个概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})$ 上的一组独立同分布的、在单位球面上均匀分布的随机向量，它们表示飞船每次空间跳跃的随机方向。并设 $\mathcal{F}_n=\sigma(\overrightarrow{U_1},\ldots,\overrightarrow{U_n})$ 以及 $\mathcal{F}_0=(\Omega,\emptyset)$。

3. 设第 $n$ 次空间跳跃的距离为 $l_n(n\geq1)$，因为在第 $n$ 次空间跳跃时要根据以前的信息来决定第 $n$ 次的跳跃距离，所以 $l_n$ 关于 $\mathcal{F}_{n-1}$ 可测。

4. 于是若设第 $n$ 次空间跳跃后飞船的坐标为 $\overrightarrow{X_n}$，那么\[\overrightarrow{X_n}=\overrightarrow{X_{n-1}} + l_n\overrightarrow{U_n}.\quad n=1,2,\ldots.\]其中 $\overrightarrow{X_0}=(R,0,0)$ 是飞船的初始位置。

5. 设 $T$ 是飞船首次返回太阳系的时间： \[ T = \inf\ \{ n:|\ \overrightarrow{X_n}\in B(0,r)\ \},\]则 $T$ 的取值范围是 $\mathbb{N^+}\cup\{+\infty\}$。我们要估算的是事件 $\{T<+\infty\}$ 的概率，这正是飞船能够在有限时间内回到太阳系的概率。

现在我们着手研究一下飞船的运动规律。

实际上只要搞清楚第一次跳跃会发生什么就足够了，因为以后的每次跳跃不过是第一次跳跃的 "情景重复"。那么第一次跳跃以后会有什么事情发生呢？

设 $R_n$ 为第 $n$ 次跳跃以后飞船与太阳系的距离，$R_0=R$，把前面的引理 1 套用过来，我们得到

\[\mathbf{E}\left[\frac{1}{R_1}\right]=\left\{\begin{array}{l}1/R&l_1<R,\\1/l_1&l_1\geq R.\end{array}\right.\]

特别地可以发现，不论怎样设置 $l_1$，都会有 $\mathbf{E}[1/R_1]\leq 1/R$，这就是说，在期望的意义下，飞船跳跃以后与太阳系的距离的倒数是递减的！

我们可以立刻把这个现象应用到后面的每次跳跃中去：在 $n-1$ 时刻，给定飞船与太阳系的距离 $R_{n-1}$，则不论如何设定第 $n$ 次的跳跃距离 $l_n$，总是有

\[ \mathbf{E}\left[\left.\frac{1}{R_n}\right|R_{n-1}=a\right]\leq\frac{1}{a}.\]

也就是

\[ \mathbf{E}\left[\left.\frac{1}{R_n}\right|\mathcal{F}_{n-1}\right]\leq \frac{1}{R_{n-1}}.\]

一言以概之，就是

定理 1：$\{1/R_n\}$ 关于 $\{\mathcal{F}_n\}$ 构成一个上鞅（与策略无关）。特别地如果跳跃距离总是不超过当前飞船与太阳系的距离，即对任何 $n\geq1$ 有 $l_n\leq R_{n-1}$，则 $\{1/R_n\}$ 还是一个鞅。

证明：只要再说明每个 $1/R_n$ 是可积的随机变量即可。由于 $1/R_n$ 是非负的随机变量因此 $\mathbf{E}[\frac{1}{R_n}|\mathcal{F}_{n-1}]$ 是有定义的且小于等于 $1/R_{n-1}$。对 $n$ 归纳即可。

定理 1 是解决整个问题最关键的一步，有了它就海阔天空，没有它就寸步难行。由它我们立刻可以导出一个有趣的观察：由于非负上鞅总是几乎处处收敛的，因此定理 1 的结论蕴含 $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(\omega)$ 是几乎处处存在的（极限可以是正无穷），而这有两种可能：$\lim\limits_{n\to\infty}R_n(\omega)=+\infty$ 或者 $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(\omega)=a<+\infty$。所以飞船要么飞向无穷远，即迷失在宇宙的深处，要么被 "禁锢" 在一个有限的区域内打转。

现在我们可以证明：

定理 2：不论飞船采取怎样的策略，返回太阳系的概率都严格小于 $r/R$。

证明只用到非常基础的鞅的知识：

设 $Z_n=1/R_n$，则 $\{Z_n\}$ 是一个非负上鞅，所以 $Z_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}Z_n$ 是几乎处处存在的。考虑由停时 $T$ 截断得到的非负上鞅序列 $\{Z_{T\wedge n}\}$，这个上鞅序列也是几乎处处收敛的，其中\[ \lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n} = \left\{ \begin{array}{l}\lim_{n\to\infty}Z_n& T=\infty,\\ Z_T& T<\infty.\end{array}\right.\]

一方面根据非负可积函数列的 Fatou 引理有\[ \mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]\leq\varliminf_{n\to\infty}\mathbf{E}[Z_{T\wedge n}]\leq \mathbf{E}[Z_0]=\frac{1}{R}.\]

另一方面

\[\mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\mathbf{E}[Z_T1_{\{T<\infty\}}]+\mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_n1_{\{T=\infty\}}] \geq \mathbf{E}[Z_T 1_{\{T<\infty\}}]\geq\frac{1}{r}\mathbf{P}(T<\infty).\]

其中最后一个不等号是因为 $Z_T\geq 1/r$。综合这两个不等式就得到了 $\mathbf{P}(T<\infty)\leq r/R$，即任何策略下飞船最终返回太阳系的概率不大于 $r/R$。

要证明这个概率是严格小于 $r/R$ 的，我们只要证明上面式子的最后一个不等号是严格成立的：\[ \mathbf{E}[Z_T 1_{\{T<\infty\}}]>\frac{1}{r}\mathbf{P}(T<\infty).\]

当然需要假定这里的 $\{T<\infty\}$ 有正概率（返回概率是 0 的话当然小于 $r/R$，没什么好证的）。

为此只要证明在事件 $\{T<\infty\}$ 上几乎处处有 $R_n<r$ 即可。

我们可以证明一个更精细的结论：令

\[A_n:=\{R_n=r\text{ or } R_n=0\}.\]

我们要证明对每个 $n\geq0$，$A_n$ 都是零概率事件。

对 $n$ 归纳：$n=0$ 时 $R_0=R>r$，结论自然成立。设当 $k<n$ 时有 $\mathbf{P}(A_k)=0$，对 $k=n$ 我们利用

\[ \mathbf{E}[1_{A_n}|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathbf{P}(A_n|\mathcal{F}_{n-1})=0.\quad \text{a.e. $\omega\in\mathcal{F_n}$}.\]

这里 $\mathbf{P}(A_n|\mathcal{F}_{n-1})$ 几乎处处是 0 是利用了归纳假设 $\mathbf{P}(A_{n-1})=0$ 和明显的几何事实：在不考虑零测集 $A_{n-1}$ 后，对 $\omega\notin A_{n-1}$，一次跳跃恰好落在太阳系中心或者距离太阳系中心为 $r$ 的球面上的概率是 0。因此

\[\mathbf{P}(A_n)=\mathbf{E}[\mathbf{E}[1_{A_n}|\mathcal{F}_{n-1}]]=0,\]

从而结论对 $n$ 也成立。

 

对策略的进一步分析

 

现在我们把注意力转移到 "飞船不能返回太阳系" 这个事件上来。前面已经说过，飞船的运动只有两种可能，迷失在无穷远处或者被禁锢在一个有限的区域内，所以如果飞船不能返回太阳系，则飞船要么飞向无穷远，要么在太阳系之外的一个有限区域内打转。我们想知道，怎么判断这两种情形哪一种会发生呢？

举个例子，考虑这样一个明显不合理的策略：第 $n$ 次的跳跃距离总是设定为 $1/2^n$，在这个策略下飞船永远飞不出一个半径为 1 的空间，所以这种策略是应该避免的。

你可以注意到这个糟糕的策略的问题出在跳跃距离之和是收敛的。如果我们强迫每次跳跃的距离都大于一个固定的值 $\epsilon$ （$\epsilon$ 可以是任意的正数），就可以避免这种情形出现，这就是下面的定理：

定理 3：设 $\epsilon$ 是任一正数，\[ E:=\{\omega:\ T(\omega)=\infty,\  l_n(\omega)\geq\epsilon,\ \forall n\geq1\},\]

则我们有

\[ \lim_{n\to\infty} R_n=+\infty,\quad \text{for a.e. $\omega\in E$.}\]

 

定理 3 的证明也很有趣，糅合了几何学和概率两方面的知识。

设 $\theta_n$ 为 $\overrightarrow{X_{n-1}}$ 与 $\overrightarrow{U_n}$ 之间的夹角，利用关系 $\overrightarrow{X_n}=\overrightarrow{X_{n-1}}+l_n\overrightarrow{U_n}$ 以及三角形的余弦公式可得

\[ R_n^2=R_{n-1}^2+l_n^2+2R_{n-1}l_n\cos\theta_n.\]

令 $B_n=\{\cos\theta_n\geq 1/2\}$，则在事件 $B_n$ 上我们有

\[ R_n^2\geq R_{n-1}^2+l_n^2+R_{n-1}l_n\geq(R_{n-1}+\frac{l_n}{2})^2.\]

即\[ R_n\geq R_{n-1}+\frac{l_n}{2}\geq R_{n-1}+\epsilon/2,\quad \omega\in B_n.\]

在事件 $E$ 上，飞船一直在跳跃，因此有

\[ R_n\geq R_{n-1}+\epsilon/2,\quad \text{i.o.}\quad \omega\in \{B_n\ \text{i.o.}\}\cap E.\]

如果我们能证明 $\mathbf{P}(\{B_n\ \text{i.o.}\})=1$，则对几乎处处的 $\omega\in E$ 都有 $ R_n\geq R_{n-1}+\epsilon/2$ 对无穷多个 $n$ 成立，当然就说明了飞船在 $E$ 上几乎处处飞向无穷远。

为了证明 $\mathbf{P}(\{B_n\ \text{i.o.}\})=1$，我们只要证明 $\{B_n\}$ 是独立的事件列，且对每个 $n$ 有 $\mathbf{P}(B_n)=\frac{1}{4}$，这样由 Borel-Cantelli 第二引理就得到了结论。

注意到

\[ \mathbf{P}[B_n| \mathcal{F}_{n-1}] = \mathbf{P}[\left.\cos(\overrightarrow{U_n}, v)\geq\frac{1}{2}] \right|_{v=\overrightarrow{X_{n-1}}} = \mathbf{P}[\overrightarrow{U_n}\in \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ z\geq\frac{1}{2}\}]=\frac{1}{4}.\]

于是 

\[ \mathbf{P}[B_{n_1}\cap\cdots\cap B_{n_k}] = \mathbf{E}[ \mathbf{1}_{B_{n_1}\cap\cdots\cap B_{n_{k-1}}}\mathbf{P}[B_{n_k}|\mathcal{F}_{n_k-1}]]=\frac{1}{4}\mathbf{P}[B_1\cap\cdots\cap B_{n-1}].\]

从而由归纳可见对每个 $n$ 都有 $\mathbf{P}(B_n) =\frac{1}{4}$ 且它们是互相独立的。

 

最优策略

现在我们已经知道飞船返回太阳系的概率总是小于 $r/R$，也知道只要策略得当，就可以避免飞船在原地打转的糟糕情况。接下来的问题是：最好的策略到底是什么？

定理 4：定义如下的跳跃策略：在准备第 $n$ 次跳跃时，如果飞船已经在太阳系内，则令 $l_n=0$，否则令 $l_n=R_{n-1}-r+\epsilon$，这里 $0<\epsilon<r$。在这个跳跃策略下，飞船返回太阳系的概率大于 $(r-\epsilon)/R$。

注意在这个策略中总是有 $l_n<R_{n-1}$，因此 $\{Z_n\}=\{1/R_n\}$ 实际上是一个鞅。此外由于总是有 $R_n\geq r-\epsilon$，所以 $Z_n\leq1/(r-\epsilon)$，即 $\{Z_n\}$ 被常数 $1/(r-\epsilon)$ 所控制。

接下来的证明不过是定理 2 证明的重复：

这次根据控制收敛定理有

\[\mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\lim_{n\to\infty}\mathbf{E}[Z_{T\wedge n}]=\mathbf{E}[Z_0]=\frac{1}{R}.\]

另一方面

\[\mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\mathbf{E}[Z_T1_{\{T<\infty\}}]+\mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_n1_{\{T=\infty\}}].\]

这个时候要注意到在 $\{T=\infty\}$ 上总是有 $l_n\geq\epsilon$，因此根据定理 3 的结论，飞船几乎必然飞向无穷远，即

\[\lim_{n\to\infty}Z_n=0\quad \omega\in\{T=\infty\},\]

所以

\[\mathbf{E}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\mathbf{E}[Z_T1_{\{T<\infty\}}]\leq\frac{1}{r-\epsilon}\mathbf{P}(T<\infty).\]

综合两个式子就证明了 $\mathbf{P}(T<\infty)\geq(r-\epsilon)/R$。